五一模拟赛 JZOJ 4746 树塔狂想曲线性DP

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【问题描述】

相信大家都写过数字三角形问题，题目很简单求最大化一个三角形数塔从上往下走的路径和。走的规则是：（i，j）号点只能走向（i+1，j）或者（i+1，j+1）。如下图是一个数塔，映射到该数塔上行走的规则为：从左上角的点开始，向下走或向右下走直到最底层结束。

路径最大和是1+8+5+4+4 = 22，1+8+5+3+5 = 22或者1+8+0+8+5 = 22。
小S觉得这个问题so easy。于是他提高了点难度，他每次ban掉一个点（即规定哪个点不能经过），然后询问你不走该点的最大路径和。
当然他上一个询问被ban掉的点过一个询问会恢复（即每次他在原图的基础上ban掉一个点，而不是永久化的修改）。

【输入】

第一行包括两个正整数，N，M，分别表示数塔的高和询问次数。
以下N行，第i行包括用空格隔开的i - 1个数，描述一个高为N的数塔。
而后M行，每行包括两个数X，Y，表示第X行第Y列的数塔上的点被小S ban掉，无法通行。
（由于读入数据较大，c或c++请使用较为快速的读入方式）

【输出】

M行每行包括一个非负整数，表示在原图的基础上ban掉一个点后的最大路径和，如果被ban掉后不存在任意一条路径，则输出-1。

【输入输出样例1】

tower. in
5 3
1
3 8
2 5 0
1 4 3 8
1 4 2 5 0
2 2
5 4
1 1
tower.out
17
22
-1

【样例解释】

第一次是
1
3 X
2 5 0
1 4 3 8
1 4 2 5 0
1+3+5+4+4 = 17 或者 1+3+5+3+5=17
第二次：
1
3 8
2 5 0
1 4 3 8
1 4 2 X 0
1+8+5+4+4 = 22
第三次：你们都懂的！无法通行，-1！

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【数据范围】

analysis

看到数字三角形，我笑了，毕竟 $DP$ 入门题目，再往下看，我的笑容逐渐凝固。。
但还是套上数字三角形的板子，标记了被 $ban$ 掉的点，在线做，样例就很容易的过了，然而时间复杂度是 $O(m*n^2)$ ，肯定 $TLE$ ，那就只能想其他方法了。
然后我们可以发现：我们可以 $n^2$ 去预处理一下，
$f[i,j]$ 表示 $[1,1]$ 到点 $[i,j]$ 的最大路径和。
$g[i,j]$ 则表示 $[i,j]$ 到 $最后一层$ 的最大路径和。
然后我们这样就可以发现：
$f[i,j]+g[i,j]-a[i,j]$ 就是从第 $1$ 层到第 $n$ 层经过点 $[i,j]$ 的最大路径和！
然后我们每一层找一个左边点 $[i,j-1]$ 最大的 $f[i,j]+g[i,j]-a[i,j]$ ，
跟一个右边点 $[i,j+1]$ 最大的。
这样查询的时间为 $O(1)$ ，时间复杂度就变成了 $O(n^2+m)$ 。
看起来很简单，仔细想想后确实也不难，然而我还是想了快一个小时，还是慢慢提高吧。。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;

template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}

int a[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];//f[i][j]表示从上往下走到(i,j)的最大路径和
int g[maxn][maxn];//g[i][j]表示从下往上走到(i,j)的最大路径和
int l[maxn][maxn];//(i,j)左边点的最大值
int r[maxn][maxn];//(i,j)右边点的最大值
int main()
{
	freopen("tower.in","r",stdin);
	freopen("tower.out","w",stdout);
    int n,m;
    read(n);read(m);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=i; ++j)
            read(a[i][j]),
            f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];
    for (int i=n; i>=1; --i)
		for (int j=i; j>=1; --j)
    		g[i][j]=max(g[i+1][j+1],g[i+1][j])+a[i][j];
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
    	for (int j=1; j<=i; ++j) l[i][j]=max(l[i][j-1],f[i][j]+g[i][j]-a[i][j]);
    	for (int j=i; j>=1; --j) r[i][j]=max(r[i][j+1],f[i][j]+g[i][j]-a[i][j]);
	}
	while (m--)
	{
		int x,y;
		read(x);read(y);
		if (x==1 && y==1) puts("-1");
		else printf("%d\n",max(l[x][y-1],r[x][y+1]));
	}
    return 0;
}

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