51nod 1630（定积分 + 期望）

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51nod1630

Problem

1. 每个人进入竞技场后，会等概率随机匹配一个人，匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。
2. 胜利达到 $x$场，或失败达到 $y$场后，退出竞技场，根据退出时的胜利场数获得奖励，不能中途放弃。
3. 水平高的选手，总能战胜水平低的选手，不存在水平相等的人。
4. 竞技场有无穷多的人。

若某人的水平在所有人中等概率随机，等求退出比赛时的期望胜利场数。

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Solution

​ 一道妙题。

​ 观察题目，可以发现因为有无穷多的人，所以如果当你的水平确定下来后，胜率的改变可以忽略不计，例如如果有 $n$个人，那么你 $i$水平的胜率就是 $\frac{i-1}{n}$。

​ 那么如果我们确定了一个胜率，这题则十分的容易在一个dp时间复杂度解决。

​ 然而胜率可以看做是 $[0,1]$区间上的任意小数，根据定积分的思想，我们把区间分成尽量多的段数，然后取平均值作为答案。但这样的时间复杂度与精度不能同时保障。

​ 考虑把dp看做一个多项式，一个关于胜率p的多项式。然后只需要在最后把 $[0,1]$分成几百万份的 $p$带进去，换句话说，我们的答案应该是这样的形式： $\lim_{n->∞}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\int_a^bf(x)\ dx$

这样时间复杂度可以通过 $n\le 10,m\le 10$的所有数据。

​ 在 $100\%$的数据下， $n,m\le 20$，此时我们需要用到定积分的求解公式，像这样：

void Doit(db a[], int win) {
	db sum = 0;
	F(i, 1, a[0])
		sum += a[i] / i;
	Ans = Ans + sum * win; // win是赢的场数，因为要算的是期望。
}