【SA+DP】CF1063F String Journey

【题目】
CF
定义一个字符串序列 $t$ 是合法的，当且仅当 $t_i$ 是 $t_{i-1}$ 的子串，且 $t_i\neq t_{i-1}$ 。
求一个最长的合法字符串序列 $t$ ，满足存在一个字符串序列 $u$ ，使得 $s=u_1+t_1+u_2+t_2+\dots +t_k+u_{k+1}$ ，其中 $u_i$ 可以为空。输出其长度 $k$ 即可。

$|s|\leq 5\times 10^5$

【解题思路】
好题！
首先我们需要观察一些性质：

对于最长的序列 $t$ ，一定可以通过增减字符，满足 $|t_i|=|t_{i-1}|-1$ ，即长度每次仅减少 $1$ 。
若存在以 $s$ 中第 $i$ 个位置开头的长度为 $j$ 的合法字符串序列，那么 $[1,j-1]$ 也可以取到。
令 $f_i$ 表示以 $i$ 开头的最优答案，那么 $f_{i+1}+1\ge f_i$
其中前两个显然，最后一个可以通过前两个得出。
那么我们从后往前 $\text{DP}$ 的时候，我们从 $f_{i+1}+1$ 往前暴力枚举 $f_i?$ 的复杂度就是对的了。于是实际上我们现在就要支持：
插入一个位置
查询是否有位置 $j$ 与当前的 $i$ （或 $i+1$ ）满足 $lcp(s[i..n],s[j..n])\ge f_i-1$ ，且 $j\ge i+f_i$
满足前一个条件的在后缀数组上是一段并连续的区间，这个可以二分。那么剩下的直接用可持久化线段树维护一下区间最值即可。

复杂度 $O(n\log n)$ 。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e5+10,M=N*40,inf=0x3f3f3f3f;

namespace String
{
	int sa[N],rk[N],hi[N],wa[N],wb[N],wx[N],wy[N],h[20][N],fc[20],Log[N];
	bool cmp(int *r,int a,int b,int l){return r[a]==r[b] && r[a+l]==r[b+l];}
	void getsa(int *r,int n,int m)
	{
		int *x=wa,*y=wb,*t,i,j,p;
		for(i=0;i<m;++i) wx[i]=0;
		for(i=0;i<n;++i) wx[x[i]=r[i]]++;
		for(i=1;i<m;++i) wx[i]+=wx[i-1];
		for(i=n-1;~i;--i) sa[--wx[x[i]]]=i;
		for(j=1,p=0;p<n;j<<=1,m=p)
		{
			for(p=0,i=n-j;i<n;++i) y[p++]=i;
			for(i=0;i<n;++i) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
			for(i=0;i<m;++i) wx[i]=0;
			for(i=0;i<n;++i) wx[wy[i]=x[y[i]]]++;
			for(i=1;i<m;++i) wx[i]+=wx[i-1];
			for(i=n-1;~i;--i) sa[--wx[wy[i]]]=y[i];
			for(t=x,x=y,y=t,p=1,i=1,x[sa[0]]=0;i<n;++i)
				x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
		}
	}
	void getheight(int *r,int n)
	{
		int i,j,k=0;
		for(i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;
		for(i=0;i<n;hi[rk[i++]]=k)
			for(k?--k:0,j=sa[rk[i]-1];r[i+k]==r[j+k];++k);
	}
	void adjust(int n)
	{
		for(int i=n;i;--i) ++sa[i],rk[i]=rk[i-1];
		sa[0]=rk[0]=0;
	}
	void buildst(int n)
	{
		fc[0]=1;for(int i=1;i<20;++i) fc[i]=fc[i-1]<<1;
		for(int i=2;i<=n;++i) Log[i]=Log[i>>1]+1;
		for(int i=1;i<=n;++i) h[0][i]=hi[i];
		for(int j=1;j<20;++j) for(int i=1;i+fc[j]-1<=n;++i) 
			h[j][i]=min(h[j-1][i],h[j-1][i+fc[j-1]]);
	}
	void buildsa(int *r,int n,int m)
	{
		getsa(r,n+1,m);getheight(r,n);adjust(n);buildst(n);
	}
	int lcp(int x,int y)
	{
		if(x>y) return inf;
		int t=Log[y-x+1];
		return min(h[t][x],h[t][y-fc[t]+1]);
	}
}
using namespace String;

namespace Data_Structure
{
	int rt[N];
	struct Segment
	{
		int sz,mx[M],ls[M],rs[M];
		void update(int &x,int y,int l,int r,int p,int v)
		{
			x=++sz;mx[x]=mx[y];ls[x]=ls[y];rs[x]=rs[y];mx[x]=max(mx[x],v);
			if(l==r) return;
			int mid=(l+r)>>1;
			if(p<=mid) update(ls[x],ls[y],l,mid,p,v);
			else update(rs[x],rs[y],mid+1,r,p,v);
		}
		int query(int x,int l,int r,int L,int R)
		{
			if(L>R) return 0;
			if(L<=l && r<=R) return mx[x];
			int mid=(l+r)>>1,res=0;
			if(L<=mid) res=max(res,query(ls[x],l,mid,L,R));
			if(R>mid) res=max(res,query(rs[x],mid+1,r,L,R));
			return res;
		}
	}T;
}
using namespace Data_Structure;

namespace DreamLolita
{
	int n,ans,a[N],f[N];
	char s[N];
	bool check(int p,int len,int pos)
	{
		p=rk[p];
		int l=p,r=n,ansl=0,ansr=n+1;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(lcp(p+1,mid)<len) r=mid-1,ansr=mid;
			else l=mid+1;
		}
		l=1;r=p;
		while(l<=r)
		{	
			int mid=(l+r)>>1;
			if(lcp(mid+1,p)<len) l=mid+1,ansl=mid;
			else r=mid-1;
		}
		int tmp=T.query(rt[pos],1,n,ansl+1,ansr-1);
		//printf("%d %d %d %d %d\n",p,len,pos,ansl,ansr);
		return tmp>=len;
	}
	void solution()
	{
		scanf("%d%s",&n,s);
		for(int i=0;i<n;++i) a[i]=s[i]-'a'+1;
		buildsa(a,n,28);
		for(int i=n;i;--i)
		{
			for(int j=f[i+1]+1;j;--j) if(check(i,j-1,i+j) || check(i+1,j-1,i+j)) {f[i]=j;break;}
			ans=max(ans,f[i]);T.update(rt[i],rt[i+1],1,n,rk[i],f[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CF1063F.in","r",stdin);
	freopen("CF1063F.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}

【SA+DP】CF1063F String Journey

猜你喜欢