Zap[BZOJ1101]\[POI2007]

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题面描述

思路

题目要求等价于求有多少二元组 $(x,y)$ 满足 $x\le a/k,y\le b/k$ 并且 $x,y$ 互质(因为 $\operatorname{gcd}(x,y)=k$ )。

设 $D(a,b,k)$ 表示满足 $x\le a,y\le b$ 且 $k \mid \gcd(x,y)$ 的二元组有多少对。显然满足只要 $x,y$ 都是k的倍数即可。 $1$ ~ $a$ 之间 $k$ 的倍数有 $\left\lfloor a/k\right\rfloor$ ， $1$ ~ $b$ 之间 $k$ 的倍数有 $\left\lfloor b/k\right\rfloor$ 所以 $D(a,b,k)=\left\lfloor a/k\right\rfloor* \left\lfloor b/k\right\rfloor$ 。

设 $F(a,b)$ 表示满足 $x\le a,y\le b$ 并且 $x,y$ 互质的二元组有多少对。根据容斥原理，
$F(a,b)=\sum_{i=1}^{min(a,b)}\mu(i)*D(a,b,i)$

上式的意思是，没有任何限制的二元组总数为 $D(a,b,1)=a*b$ 。应当减去 $\gcd(x,y)$ 是 $2,3,5,\cdots$ 的倍数的二元组数量，但这样有重复减掉 $\gcd(x,y)$ 既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数的二元组数量，或者既是 $2$ 的倍数又是 $5$ 的倍数的二元组数量， $\cdots\cdots$ ，应该加回来，但是又重复加了既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数也是 $5$ 的倍数的二元组数量， $\cdots\cdots$ ，应该减回去。以此类推， $D[a,b,i]$ 的系数恰好是 $\operatorname{M\ddot{o}bius}$ 函数。

回顾余数之和，设 $\operatorname{g}(x)=\left\lfloor\\ k/\left\lfloor\\ k/x\right\rfloor \right\rfloor$ ，可以得知 $\left\lfloor\\ k/\operatorname{g}(x) \right\rfloor=\left\lfloor\\ k/x \right\rfloor$ (为了分块处理，加速)

即可知道: $\forall i\in[x,\left\lfloor\\ k/\left\lfloor\\ k/x\right\rfloor \right\rfloor],\left\lfloor\\ k/i \right\rfloor$ 都相等，即 $D(a,b,i)=\left\lfloor a/i\right\rfloor* \left\lfloor b/i\right\rfloor$ 都相等。

预处理 $\operatorname{M\ddot{o}bius}$ 函数的前缀和。

我们这时就可以分块做了。

AC code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e4+10;
const int inf=5e4;
const int M=1e4+10;
int prime[M],miu[N],m;bool v[N];
inline void g_p()
{
	m=0;memset(v,false,sizeof(v));miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=inf;i++)
	{
		if(!v[i])prime[++m]=i,miu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=m&&i*prime[j]<=inf;j++)
		{
			v[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){miu[i*prime[j]]=0;break;}
			else miu[i*prime[j]]=-miu[i];
		}
	}
}
inline void Zap()
{
	int a,b,k;scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
	a/=k,b/=k;if(a>b)swap(a,b);ll ans=0;
	for(int x=1,gx;x<=a;x=gx+1)
	{
		gx=min(a/(a/x),b/(b/x));
		ans+=(ll)(miu[gx]-miu[x-1])*(a/x)*(b/x);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
void solve()
{
	for(int i=2;i<=inf;i++)miu[i]+=miu[i-1];
	int t;scanf("%d",&t);while(t--)Zap();
}
int main()
{
	g_p();
	solve();
	return 0;
}