BZOJ 1101 [POI2007]Zap

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

思路

数学题。

题目要求的就是

$$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\gcd (i,j)=d]$$

我们可以设

$$a'=\lfloor\frac{a}{d}\rfloor,b'=\lfloor\frac{b}{d}\rfloor$$
即有
$$\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\gcd(i,j)=1]$$
莫比乌斯函数有一个优美的性质：
$$\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]$$

将$\gcd(i,j)$带入上面的$n$，则

$$\sum_{d\mid\gcd(i,j)} \mu(d)=[\gcd(i,j)=1]$$
带入上面式子，得
$$\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d\mid\gcd(i,j)} \mu(d)$$
经过一些操作，我们最终得到了
$$\sum_{t=1}^{\min(a',b')}\mu(t)\lfloor\frac{a'}{t}\rfloor\lfloor\frac{b'}{t}\rfloor$$
如果直接枚举 $t$，那么肯定会T，考虑 $\lfloor\frac{a'}{t}\rfloor$和 $\lfloor\frac{b'}{t}\rfloor$有很多情况是一样的，整除分块并对 $\mu(t)$维护前缀和即可快速得出答案。

时间复杂度：我也不知道是啥啊，$O(\text{能过})$。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn=50000;

int mu[maxn+10],p[maxn+10],prime[maxn+10];
int sum[maxn+10],t,a,b,d,tot;

int getmu()
{
  mu[1]=1;
  for(register int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
      if(!p[i])
        {
          prime[++tot]=i;
          mu[i]=-1;
        }
      for(register int j=1; (j<=tot)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j)
        {
          p[i*prime[j]]=1;
          if(i%prime[j]==0)
            {
              mu[i*prime[j]]=0;
              break;
            }
          mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
  for(register int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
  return 0;
}

int main()
{
  getmu();
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
    {
      scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
      a/=d;
      b/=d;
      long long ans=0;
      int x=std::min(a,b),pos;
      for(register int i=1; i<=x; i=pos+1)
        {
          pos=std::min(a/(a/i),b/(b/i));
          ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
        }
      printf("%lld\n",ans);
    }
  return 0;
}