【二叉树基础（下）】：有了如此高效的散列表，为什么还需要二叉树？

今天我们再来学习一种特殊的的二叉树，二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

我们之前说过，散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是 O(1)。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？

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二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。 我画了几个二叉查找树的例子，你一看应该就清楚了。

前面我们讲到，二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。

1. 二叉查找树的查找操作

首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

这里我把查找的代码实现了一下，贴在下面了，结合代码，理解起来会更加容易。

class Node{
public:
    Node(int data_in): data(data_in) {}
    int data;
    Node *left;
    Node *right;
};

class BinarySearchTree{
    private:
        Node *tree;

    public:
        Node *find(int data){
            Node *p = tree;
            while(p != nullptr){
                if(data < p->data) p = p->left;
                else if(data > p->data) p = p->right;
                else return p;
            }

            return nullptr;
        }
};

2. 二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

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同样，插入的代码我也实现了一下，贴在下面，你可以看看。

void insert(int data){
    if(tree == nullptr){
        tree = new Node(data);
        return;
    }

    Node *p = tree;
    while(p != nullptr){
        if(data <= p->data){
            if(p->left == nullptr){
                p->left = new Node(data);
                return;
            }else{
                p = p->left;
            }
        }else{
            if(p->right == nullptr){
                p->right = new Node(data);
                return;
            }else{
                p = p->right;
            }
        }
    }
}

3. 二叉查找树的删除操作

二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。

第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。

第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它的数据与要删除的节点进行替换。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

注意编程的时候有个技巧，就是先处理有要删除的节点有两个子节点的情况，这样交换节点数据后，交换之后需要删除的节点就一定是没有子节点或者只有一个子节点，就可以统一被第一或者第二种情况删除掉。

老规矩，我还是把删除的代码贴在这里。二叉查找树的删除操作（无重复的数据）leetcode 450

void deleteNode(int data){
    if(tree == nullptr) return;

    Node *p = tree;//p指向要删除的节点，初始化为根节点
    Node *pp = nullptr; //pp指向要删除的节点的父节点，初始化为nullptr
    
    ////查找等于data的节点,并将其父节点赋给pp
    while(p!=nullptr && p->data!=data){
        pp = p;
        if(data > p->data) p = p->right;
        else p = p->left;
    }

    if(p==nullptr) return; // 没有找到

    //如果要删除的节点有两个子节点
    if(p->left!=nullptr && p->right!=nullptr){
        //先找到要删除的节点的右子树中的最小节点
        Node *minP = p->right;
        Node *minPP = p; //minPP表示minP的父节点
        while(minP->left !=nullptr){
            minPP = minP;
            minP = minP->left;
        }
        p->data = minP->data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
        p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了,  即删除叶子节点或者仅有一个子节点
        pp = minPP;
    }

    //要删除的节点是叶子结点或者仅有一个节点
    Node *child; //p的子节点
    if(p->left != nullptr) child = p->left;
    else if(p->right != nullptr) child = p->right;
    else{ child = nullptr;

    if(pp == nullptr){
        //如果删除的是根节点
        delete tree;
        tree = child;
    }else if(pp->left == p){
        delete p;
        p = nullptr;
        pp->left = child;
    }else{
        delete p;
        p = nullptr;
        pp->right = child;
    }

}

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4. 二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。

//找到最小节点
Node *findMin() {
    if (tree == nullptr) return nullptr;
    Node *p = tree;
    while (p->left != nullptr) {
        p = p->left;
    }
    return p;
}

//找到最大节点
Node *findMax() {
    if (tree == nullptr) return nullptr;
    Node *p = tree;
    while (p->right != nullptr) {
        p = p->right;
    }
    return p;
}

//找到前驱节点
Node *get_prenode(int it)
{
    if (nullptr == tree)return nullptr;
    if (it == tree->data) return nullptr;
    Node* p = tree;
    Node* pp=nullptr;
    while ((p!=nullptr) && (p->data != it))
    {
        pp = p;
        if (p->data < it)
        {
            p=p->right;
        }
        else
        {
            p = p->left;
        }
    }
    return pp;
}

//找到后继节点
Node *get_postnode(int it)
{
    if (nullptr == tree)return nullptr;
    
    Node* p = tree;
    while ((p!=nullptr) && (p->data != it))
    {
        if (p->data < it)
        {
            p=p->right;
        }
        else
        {
            p = p->left;
        }
    }

    if(nullptr==p){
        return nullptr;
    }else if(p->left != nullptr){
        return p->left;
    }else if(p->right!=nullptr){
        return p->right;
    }else{
        return nullptr;
    } 
}

二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

void mid_order(Node* root)
{
    if (nullptr == root)return;
    mid_order(root->left);
    cout << root->data;
    mid_order(root->right);
}

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支持重复数据的二叉查找树

前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。

前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。

第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。

第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

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二叉查找树的时间复杂度分析

好了，对于二叉查找树常用操作的实现方式，你应该掌握得差不多了。现在，我们来分析一下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。

实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。

我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？

从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？

树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。

不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：

借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L 的范围是 。完全二叉树的层数小于等于，也就是说，完全二叉树的高度小于等于。

显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

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解答开篇

我们在散列表那节中讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？

我认为有下面几个原因：

第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。

第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

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内容小结

今天我们学习了一种特殊的二叉树，二叉查找树。它支持快速地查找、插入、删除操作。

二叉查找树中，每个节点的值都大于左子树节点的值，小于右子树节点的值。不过，这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树，我介绍了两种构建方法，一种是让每个节点存储多个值相同的数据；另一种是，每个节点中存储一个数据。针对这种情况，我们只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。

在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。

为了避免时间复杂度的退化，针对二叉查找树，我们又设计了一种更加复杂的树，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的 O(logn)，下一节我们具体来讲。

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课后思考

今天我讲了二叉树高度的理论分析方法，给出了粗略的数量级。如何通过编程，求出一棵给定二叉树的确切高度呢？

确定二叉树高度有两种思路：第一种是深度优先思想的递归，分别求左右子树的高度。当前节点的高度就是左右子树中较大的那个+1；第二种可以采用层次遍历的方式，每一层记录都记录下当前队列的长度，这个是队尾，每一层队头从0开始。然后每遍历一个元素，队头下标+1。直到队头下标等于队尾下标。这个时候表示当前层遍历完成。每一层刚开始遍历的时候，树的高度+1。最后队列为空，就能得到树的高度。

思考题：leetcode 104 题，可以使用递归法。
递归公式： depth =Math.max(maxDepth(node.left), maxDepth(node.right) )+ 1;
递归出口： depth = 0 (node == null)

递归法代码如下：

直观的方法是通过递归来解决问题。在这里，我们演示了 DFS（深度优先搜索）策略的示例。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if(root==nullptr) return 0;

        return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：我们每个结点只访问一次，因此时间复杂度为 \mathcal{O}(N)O(N)， 其中 NN 是结点的数量。

• 空间复杂度：在最糟糕的情况下，树是完全不平衡的，例如每个结点只剩下左子结点，递归将会被调用 N 次（树的高度），因此保持调用栈的存储将是 O(N)。但在最好的情况下（树是完全平衡的），树的高度将是 \log(N)log(N)。因此，在这种情况下的空间复杂度将是 O(log(N))。

非递归法代码如下：

我们还可以在栈的帮助下将上面的递归转换为迭代。

我们的想法是使用 DFS 策略访问每个结点，同时在每次访问时更新最大深度。

所以我们从包含根结点且相应深度为 1 的栈开始。然后我们继续迭代：将当前结点弹出栈并推入子结点。每一步都会更新深度。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if(root==nullptr) return 0;

        stack<pair<TreeNode *, int>> my_stack;
        my_stack.push(make_pair(root,1));
        int depth = 0;

        while(!my_stack.empty()){
            pair<TreeNode *, int> cur = my_stack.top();
            my_stack.pop();

            TreeNode *cur_Node = cur.first;
            int cur_depth = cur.second;

            if(cur_Node!=nullptr){
                depth = max(depth,cur_depth);
                my_stack.push(make_pair(cur_Node->left,cur_depth+1));
                my_stack.push(make_pair(cur_Node->right,cur_depth+1));
            }
        }

        return depth;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N).

• 空间复杂度：O(N).