bzoj3240 [NOI2013]矩阵游戏

bzoj3240 [NOI2013]矩阵游戏

有一个递推式 \(f_{i,\ j}\) 满足：

\[\begin{cases}f_{1,\ 1}=1\\f_{i,\ j}=a\times f_{i,\ j-1}+b&(j\neq1)\\f_{i,\ 1}=c\times f_{i-1,\ m}+d&(i\neq1)\end{cases}\]

求 \(f_{n,\ m} \bmod (10^9+7)\)

\(n,\ m\leq10^{10^6},\ a,\ b,\ c,\ d\in[1,\ 10^9]\)

矩阵加速，数论

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易知上式是有循环节的，循环节长度为 \(P-1\) ，因此 \(f_{n,\ m}=f_{n\bmod (P-[a\neq1]),\ m\bmod (P-[c\neq1])}\) （需特判 \(a=1\) 或 \(c=1\) 的情况 ）

对于每一行，很容易就能构造出 \(\begin{bmatrix}f_{i,\ j}&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&0\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i,\ j+1}&b\end{bmatrix}\) ，即 \(\begin{bmatrix}f_{i,\ 1}&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&0\\1&1\end{bmatrix}^{m-1}=\begin{bmatrix}f_{i,\ m}&b\end{bmatrix}\)

但是相邻行的转移貌 \(\begin{bmatrix}f_{i,m}&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c&0\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i+1,1}&d\end{bmatrix}\) 似并不能与上式结合……

\(\begin{bmatrix}f_{i+1,1}&d\end{bmatrix}\) 看着很不爽，我们将它化成 \(\begin{bmatrix}f_{i,\ m}&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c&0\\\frac{d}{b}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i,\ j+1}&b\end{bmatrix}\)

令 \(M=\begin{bmatrix}a&0\\1&1\end{bmatrix}^{m-1},\ N=\begin{bmatrix}c&0\\\frac{d}{b}&1\end{bmatrix}\)

可以发现最终答案 \(A=\begin{bmatrix}f_{1,\ 1}&b\end{bmatrix}\times M\times N\times M\times N\cdots\times M\) （即从 \(f_{i,\ 1}\) 转移到 \(f_{i,\ m}\) 再转移到 \(f_{i+1,\ 1}\) ，且第 \(n\) 行不用乘以 \(N\) ）

因此将 \(M\times N\) 结合一下，原式 \(A=\begin{bmatrix}f_{1,\ 1}&b\end{bmatrix}\times (M\times N)^{n-1}\times M\)

时间复杂度 \(O(\log n+\log m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i) for (int i = 0; i < 2; i++)
const int maxn = 1e6 + 10, P = 1e9 + 7;
int n, m, a, b, c, d;
char str1[maxn], str2[maxn];

struct matrix {
  int arr[2][2];

  matrix() { memset(arr, 0, sizeof arr); }

  int* operator [] (const int &pos) {
    return arr[pos];
  }
} E;

inline int inc(int x, int y) {
  return x + y < P ? x + y : x + y - P;
}

matrix operator + (matrix a, matrix b) {
  rep(i) rep(j) a[i][j] = inc(a[i][j], b[i][j]);
  return a;
}

matrix operator * (matrix a, matrix b) {
  matrix res;
  rep(k) rep(i) rep(j) {
    res[i][j] = inc(res[i][j], 1ll * a[i][k] * b[k][j] % P);
  }
  return res;
}

matrix qp(matrix a, int k) {
  matrix res = E;
  for (; k; k >>= 1, a = a * a) {
    if (k & 1) res = res * a;
  }
  return res;
}

int qp(int a, int k) {
  int res = 1;
  for (; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % P) {
    if (k & 1) res = 1ll * res * a % P;
  }
  return res;
}

int main() {
  E[0][0] = E[1][1] = 1;
  scanf("%s %s %d %d %d %d", str1 + 1, str2 + 1, &a, &b, &c, &d);
  int nP = P - (a != 1), mP = P - (c != 1);
  int len1 = strlen(str1 + 1), len2 = strlen(str2 + 1);
  for (int i = 1; i <= len1; i++) {
    n = (10ll * n + str1[i] - 48) % nP;
  }
  for (int i = 1; i <= len2; i++) {
    m = (10ll * m + str2[i] - 48) % mP;
  }
  if (!n) n = nP;
  if (!m) m = mP;
  matrix A, M, N;
  M[1][0] = M[1][1] = N[1][1] = 1;
  N[1][0] = 1ll * d * qp(b, P - 2) % P;
  A[0][0] = 1, A[0][1] = b, M[0][0] = a, N[0][0] = c;
  M = qp(M, m - 1);
  A = A * qp(M * N, n - 1) * M;
  printf("%d", A[0][0]);
  return 0;
}