bzoj 3240 (洛谷P1397): [Noi2013]矩阵游戏 （欧拉定理、数学）

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题意

$$F(i,j)= \begin{cases} 1& i=1,j=1\\ F(i,j)=a\cdot F(i,j-1)+b& j\neq1\\ F(i,1)=c\cdot F(i-1,m)+d& i\neq1 \end{cases}$$

已知 $a、b、c、d、n、m$ ，求 $F(n,m)$

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题解

我们先来化简这个式子

通过第一个式子，我们可以得到 $f(i,m)=a^{m-1}f(i,1)+(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots a+1)b$

重新考虑答案

$$\begin{aligned} f(n,m)&=a^{m-1}f(n,1)+(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots a+1)b\\ &=a^{m-1}(c\cdot f(n-1,m)+d)+(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots a+1)b\\ &=a^{m-1}c\cdot f(n-1,m)+a^{m-1}d+(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots a+1)b\\ \end{aligned}$$
简化一波…令 $p=(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots +a+1)b$， $x=a^{m-1}c$ ， $y=a^{m-1}d+p$， $q=(x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+x+1)y$ (后面会有用)

那么，原式就等于

$$\begin{aligned} f(n,m)&=a^{m-1}c\cdot f(n-1,m)+a^{m-1}d+(a^{m-2}+a^{m-3}+\cdots a+1)b\\ &=x\cdot f(n-1,m)+y\\ &=x(a^{m-1}f(n-1,1)+p)+y\\ &=xa^{m-1}f(n-1,1)+xp+y\\ &=xa^{m-1}(cf(n-2,m)+d)+xp+y\\ &=xa^{m-1}cf(n-2,m)+xa^{m-1}d+xp+y\\ &=x^2f(n-2,m)+(x+1)y\\ &=x^{n-1}f(1,m)+(x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+x+1)y\\ &=a^{m-1}x^{n-1}+x^{n-1}p+q\\ \end{aligned}$$

显然 $p、q$ 可以用等比数列求出（等比为 $1$ 的时候另行讨论）

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然而 $a^{m-1}、x^{n-1}$ 就不能直接算了

通过费马小定理 $a^{(p-1)}\equiv 1$ $(mod$ $p)$ ， 所以 $a^p=a^{(p mod (k-1))} (mod k)$

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代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mod 1000000007
#define N 1000005
#define ll long long
char str1[N];
int n,m,n1,m1,a,b,c,d;
int qpow(int x,int y){
    int t=1;
    while(y){
        if(y&1) t=(ll)t*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;y>>=1; 
    }return t;
}
int main(){
    freopen("a.in","r",stdin);

    scanf("%s",str1+1);
    n=0,n1=0;int nn=strlen(str1+1);
    for(int i=1;i<=nn;i++) n=((ll)n*10+str1[i]-'0')%(mod-1),n1=((ll)n1*10+str1[i]-'0')%mod;
    n=(n-1+mod-1)%(mod-1);n1=(n1-1+mod)%mod;
    scanf("%s",str1+1);
    m=0,m1=0;nn=strlen(str1+1);
    for(int i=1;i<=nn;i++) m=((ll)m*10+str1[i]-'0')%(mod-1),m1=((ll)m1*10+str1[i]-'0')%mod;
    m=(m-1+mod-1)%(mod-1);m1=(m1-1+mod)%mod;

    scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
    int am=qpow(a,m),x=(ll)am*c%mod,p;
    if(a==1) p=(ll)m1*b%mod;
    else p=(ll)b*(am-1+mod)%mod*qpow(a-1,mod-2)%mod;
    int xn=qpow(x,n),y=((ll)am*d%mod+p)%mod,q;
    if(x==1) q=(ll)n1*y%mod;
    else q=(ll)y*(xn-1+mod)%mod*qpow(x-1,mod-2)%mod;

    printf("%d\n",(((ll)am*xn%mod+(ll)xn*p%mod)%mod+q)%mod);
    return 0;
}