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3240: [Noi2013]矩阵游戏
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Description
婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:
F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。
现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。
InputF[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述
Output
包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数
Sample Input
Sample Output
HINT
样例中的矩阵为：
1 4 7 10
26 29 32 35
76 79 82 85
1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9
题解：这个矩阵明显是可以直接推出F[n][m]的啊！
我们来推一波。
由F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1) 可以得到 F[n][m]=a^(m-1)*F[n][1]+a^(m-2)b+a^(m-3)b+...+ab+b。
为了表示简单，我们设a^(m-2)b+a^(m-3)b+...+ab+b为p。
那么F[n][m]=a^(m-1)*F[n][1]+p。
又由F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1) 可以得到F[n][1]=c*F[n-1][m]+d
所以 F[n][m]=a^(m-1)*(c*F[n-1][m]+d)+p=a^(m-1)*c*F[n-1][m]+a^(m-1)*d+p。
同样地，我们将a^(m-1)*c表示为x，a^(m-1)*d+p表示为y。
所以F[n][m]=x*F[n-1][m]+y。
由此一路递推上去，我们能得到F[n][m]=x^(n-1)*F[1][m]+x^(n-2)y+x^(n-3)y+...+xy+y。
将x^(n-2)y+x^(n-3)y+...+xy+y表示为q。
原式变为F[n][m]=x^(n-1)*F[1][m]+q。
递推到F[1][1]，式子变为F[n][m]=x^(n-1)*(a^(m-1)*F[1][1]+p)+q。
又 F[1][1]=1，所以最终的式子为F[n][m]=x^(n-1)*(a^(m-1)+p)+q。
多简洁的式子
然后来看如何求最后式子里的量了。
要求x，因为x=a^(m-1)*c，所以我们要求出a^(m-1)。
但这题里面的n和m都巨大无比，所以我们要上一个好东西——欧拉降幂
就是这个式子，至于怎么来的这里不管。
这里的C是1e9+7是个质数，所以phi(C)=1e9+6。这样我们就能把n，m在读入时取模将其控制在1e9+7的范围内。
这样x可以求出，y也可以求出。
至于p和q显然是一个等比数列求和，注意公比为1时分开计算，除法用逆元解决。
这样答案就可以得出了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define phi 1000000006
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,n1,m1;
LL a,b,c,d;
LL ksm(LL a,LL b)
{
LL res=1;
for(;b;b>>=1)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
}
return res;
}
int main()
{
char ch;
while((ch=getchar())!=' ')
{
n=n*10+ch-'0';n%=phi;
n1=n1*10+ch-'0';n1%=mod;
}
n=(n-1+phi)%phi;n1=(n1-1+mod)%mod;
while((ch=getchar())!=' ')
{
m=m*10+ch-'0';m%=phi;
m1=m1*10+ch-'0';m1%=mod;
}
m=(m-1+phi)%phi;m1=(m1-1+mod)%mod;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
LL am,x,y,p,q,xn;
am=ksm(a,m);
x=am*c%mod;
if(a==1) p=b*m1%mod;
else p=(b*(am-1+mod))%mod*ksm(a-1,mod-2)%mod;
y=(am*d%mod+p)%mod;
xn=ksm(x,n);
if(x==1) q=y*n1%mod;
else q=(y*(xn-1+mod)%mod)*ksm(x-1,mod-2)%mod;
printf("%lld\n",(xn*(am+p)+q)%mod);
return 0;
}