冒泡排序、插入排序、选择排序的时间复杂度均为O(n^2)。
插入排序和冒泡排序的时间复杂度相同，都是 O(n^2 )，在实际的软件开发里，为什么我们更倾向于使用插入排序算法而不是冒泡排序算法呢？
冒泡排序
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一轮冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 轮，就完成了 n 个数据的排序工作。
我们要对一组数据 4，5，6，3，2，1，从小到到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样：
可以看出，经过一轮冒泡操作之后，6 这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序，我们只要进行 6 轮这样的冒泡操作就行了。
实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某轮冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。我这里还有另外一个例子，这里面给 6 个元素排序，只需要 4 轮冒泡操作就可以了。
//a表示数组，n表示数组大小
void bubbleSort(int *a, int n) {
if (n <= 1) {
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
bool has_exchange = false;
for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
if (a[j] > a[j + 1]) {
int tmp = a[j];
a[j] = a[j + 1];
a[j + 1] = tmp;
has_exchange = true; //存在数据交换
}
}
if (!has_exchange) break; //没有数据交换，提前退出
}
}第一，冒泡排序是原地排序算法吗？
冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为O(1)，是一个原地排序算法。
第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗？
在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。
第三，冒泡排序的时间复杂度是多少？
最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一轮冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是 O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，我们需要进行 n 次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为 O(n^2)。
最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析，那平均情况下的时间复杂是多少呢？我们前面讲过，平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度，分析的时候要结合概率论的知识。
对于包含 n 个数据的数组，这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如我们前面举的那两个例子，其中一个要进行 6 次冒泡，而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度，涉及的数学推理和计算就会很复杂。这里还有一种思路，通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：
同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，比如 1，2，3，4，5，6，有序度就是n*(n-1)/2，也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。
逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序），我想你应该已经想到了。关于逆序度，我就不举例子讲了。你可以对照我讲的有序度的例子自己看下。
逆序元素对：a[i] > a[j], 如果 i < j。
关于这三个概念，我们还可以得到一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度。我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。
冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加 1。不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n*(n-1)/2–初始有序度。此例中就是 15–3=12，要进行 12 次交换操作。
对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n*(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n*(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n^2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n^2)。
这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格，但是很多时候很实用，毕竟概率论的定量分析太复杂，不太好用。
插入排序（Insertion Sort）
我们先来看一个问题。一个有序的数组，我们往里面添加一个新的数据后，如何继续保持数据有序呢？很简单，我们只要遍历数组，找到数据应该插入的位置将其插入即可。
这是一个动态排序的过程，即动态地往有序集合中添加数据，我们可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据，我们也可以借鉴上面讲的插入方法，来进行排序，于是就有了插入排序算法。
那插入排序具体是如何借助上面的思想来实现排序的呢？
首先，我们将数组中的数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间中元素为空，算法结束。
如图所示，要排序的数据是 4，5，6，1，3，2，其中左侧为已排序区间，右侧是未排序区间。
插入排序也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。
对于不同的查找插入点方法（从头到尾、从尾到头），元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列，移动操作的次数总是固定的，就等于逆序度。
为什么说移动次数就等于逆序度呢？我拿刚才的例子画了一个图表，你一看就明白了。满有序度是 n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是 5，所以逆序度是 10。插入排序中，数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4。
//插入排序（从小到大排序版本： a表示数组，n表示数组大小
void insertionSort(int *a, int n) {
if (n <= 1) {
return;
}
//初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素
for (int i = 1; i < n; i++) {
int value = a[i];
int j = i - 1; //已排序区间的最后一个元素的标号
for (; j >= 0; j--) {
//从已排序区间的最后一个元素开始与value进行比较
if (a[j] > value) {
a[j + 1] = a[j]; //数据移动
}
else {
break; //已经找到了插入位置(第一个小于等于value的值)，退出循环
}
}
a[j + 1] = value;
}
}第一，插入排序是原地排序算法吗？
从实现过程可以很明显地看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。
第二，插入排序是稳定的排序算法吗？
在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。
第三，插入排序的时间复杂度是多少？
如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。
如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n^2)。
还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n^2)。
选择排序（Selection Sort）
选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O(n^2)。
那选择排序是稳定的排序算法吗？这个问题我着重来说一下。
答案是否定的，选择排序是一种不稳定的排序算法。从我前面画的那张图中，你可以看出来，选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。
比如 5，8，5，2，9 这样一组数据，使用选择排序算法来排序的话，第一次找到最小元素 2，与第一个 5 交换位置，那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了，所以就不稳定了。正是因此，相对于冒泡排序和插入排序，选择排序就稍微逊色了。
void selectionSort(int *a, int n) {
if (n <= 1)
return;
//每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
int min_index = i;
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (a[j] < a[min_index]) {
min_index = j;
}
}
if (min_index != i) {
int tmp = a[i];
a[i] = a[min_index];
a[min_index] = tmp;
}
}
}
解答开篇
我们来看开篇的问题：冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是 O(n )，都是原地排序算法，为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎呢？
我们前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到，冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。
但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个。我们来看这段操作：
冒泡排序中数据的交换操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
int tmp = a[j];
a[j] = a[j+1];
a[j+1] = tmp;
flag = true;
}
插入排序中数据的移动操作：
if (a[j] > value) {
a[j+1] = a[j]; // 数据移动
} else {
break;
}我们把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间（unit_time），然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序，需要 K 次交换操作，每次需要 3 个赋值语句，所以交换操作总耗时就是 3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。
这个只是我们非常理论的分析，为了实验，针对上面的冒泡排序和插入排序的 Java 代码，我写了一个性能对比测试程序，随机生成 10000 个数组，每个数组中包含 200 个数据，然后在我的机器上分别用冒泡和插入排序算法来排序，冒泡排序算法大约 700ms 才能执行完成，而插入排序只需要 100ms 左右就能搞定！
所以，虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的，都是 O(n )，但是如果我们希望把性能优化做到极致，那肯定首选插入排序。插入排序的算法思路也有很大的优化空间，我们只是讲了最基础的一种。如果你对插入排序的优化感兴趣，可以自行学习一下希尔排序。
这三种时间复杂度为 O(n^2) 的排序算法中，冒泡排序、选择排序，可能就纯粹停留在理论的层面了，学习的目的也只是为了开拓思维，实际开发中应用并不多，但是插入排序还是挺有用的。后面讲排序优化的时候，我会讲到，有些编程语言中的排序函数的实现原理会用到插入排序算法。
思考
我们讲过，特定算法是依赖特定的数据结构的。我们今天讲的几种排序算法，都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中，这三种排序算法还能工作吗？如果能，那相应的时间、空间复杂度又是多少呢？
有个前提，是否允许修改链表的节点value值，还是只能改变节点的位置。一般而言，考虑只能改变节点位置，冒泡排序相比于数组实现，比较次数一致，但交换时操作更复杂；插入排序，比较次数一致，不需要再有后移操作，找到位置后可以直接插入，但排序完毕后可能需要倒置链表；选择排序比较次数一致，交换操作同样比较麻烦。综上，时间复杂度和空间复杂度并无明显变化，若追求极致性能，冒泡排序的时间复杂度系数会变大，插入排序系数会减小，选择排序无明显变化。