nssl1305-最大值【dp,数学】

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正题

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题目大意

求有多少个长度为 $n$且由 $1\sim p$组成的序列满足在求最大值时交换了 $k$次。

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解题思路

考虑 $dp$预处理。

用 $f_{i,j,k}$表示长度为 $i$，最大的数是 $j$，交换了 $k$次

显然有 $f_{i,j,k}=f_{i-1,p,k-1}+f_{i-1,j,k}*j(p<j)$
对于 $f_{i-1,p,k-1}$我们可以前缀和优化到 $O(npk)$

然后我们要考虑最大的不一定是 $p$，所以 $ans=\sum _{i=1}^p f_{n,i,k}$

时间复杂度 $O(NPK+\sum p)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll XJQ=1e9+7;
ll t,f[110][310][110],n,k,p,ans,sum[310][110];
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	for(ll i=1;i<=300;i++)
	  f[1][i][1]=1;
	for(ll j=1;j<=300;j++)
	  sum[j][1]=(sum[j-1][1]+f[1][j][1])%XJQ; 
	for(ll i=2;i<=100;i++)
	{
	    for(ll j=1;j<=300;j++)
	      for(ll k=1;k<=min(i,j);k++)
	    	  f[i][j][k]=(f[i-1][j][k]*j%XJQ+sum[j-1][k-1])%XJQ;
	    memset(sum,0,sizeof(sum));
		for(ll j=1;j<=300;j++)
		  for(ll k=1;k<=i;k++)
		    sum[j][k]=(sum[j-1][k]+f[i][j][k]%XJQ);
	}
	while(t--){
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&p);
		p++;ans=0;
		for(ll i=1;i<=k;i++)
		  ans=(ans+f[n][i][p])%XJQ;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}