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在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。
首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，就是取所有给定的数字的最大值。
另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。
这张图的等号左边部分就是全连接层做的事，W是全连接层的参数，我们也称为权值，X是全连接层的输入，也就是特征。从图上可以看出特征X是N*1的向量，这是怎么得到的呢？这个特征就是由全连接层前面多个卷积层和池化层处理后得到的，假设全连接层前面连接的是一个卷积层，这个卷积层的输出是100个特征（也就是我们常说的feature map的channel为100），每个特征的大小是4*4，那么在将这些特征输入给全连接层之前会将这些特征flat成N*1的向量（这个时候N就是100*4*4=1600）。解释完X，再来看W，W是全连接层的参数，是个T*N的矩阵，这个N和X的N对应，T表示类别数，比如你是7分类，那么T就是7。我们所说的训练一个网络，对于全连接层而言就是寻找最合适的W矩阵。因此全连接层就是执行WX得到一个T*1的向量（也就是图中的logits[T*1]），这个向量里面的每个数都没有大小限制的，也就是从负无穷大到正无穷大。然后如果你是多分类问题，一般会在全连接层后面接一个softmax层，这个softmax的输入是T*1的向量，输出也是T*1的向量（也就是图中的prob[T*1]，这个向量的每个值表示这个样本属于每个类的概率），只不过输出的向量的每个值的大小范围为0到1。
现在你知道softmax的输出向量是什么意思了，就是概率，该样本属于各个类的概率！
那么softmax执行了什么操作可以得到0到1的概率呢？先来看看softmax的公式
公式非常简单，前面说过softmax的输入是WX（为TX1的向量），假设模型的输入样本是I，讨论一个3分类问题（类别用1，2，3表示），样本I的真实类别是2，那么这个样本I经过网络所有层到达softmax层之前就得到了WX，也就是说WX是一个3*1的向量，那么上面公式中的aj就表示这个3*1的向量中的第j个值（最后会得到S1，S2，S3）；而分母中的ak则表示3*1的向量中的3个值，所以会有个求和符号（这里求和是k从1到T，T和上面图中的T是对应相等的，也就是类别数的意思，j的范围也是1到T）。因为e^x恒大于0，所以分子永远是正数，分母又是多个正数的和，所以分母也肯定是正数，因此Sj是正数，而且范围是(0,1)。如果现在不是在训练模型，而是在测试模型，那么当一个样本经过softmax层并输出一个T*1的向量时，就会取这个向量中值最大的那个数的index作为这个样本的预测标签。
因此我们训练全连接层的W的目标就是使得其输出的WX在经过softmax层计算后其对应于真实标签的预测概率要最高。
举个例子：假设你的WX=[3,1,-3]，给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。
那么经过softmax层后就会得到[0.88,0.12,0]，这三个数字表示这个样本属于第1,2,3类的概率分别是0.88,0.12,0。
注意：此处的e，是自然对数函数的底数，是一个数学常数，数值约为e ≈ 2.71828，其中一种定义方式为：
上图的计算过程
import math
a=math.exp(3)
b=math.exp(1)
c=math.exp(-3)
he=a+b+c
z1=a/he
z2=b/he
z3=c/he
print(a,b,c)
#(20.085536923187668, 2.718281828459045, 0.049787068367863944)
print(z1,z2,z3)
#(0.878878242732151, 0.11894323591065209, 0.0021785213571970234)