起源：Logistic的二类分类
Reference：
http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_regression
http://deeplearning.net/tutorial/logreg.html
Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。
Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。Softmax函数即是K分类版的Logistc函数。
裸Softmax回归的效果很差，因为没有隐层结构，归根还是是线性回归。所以在深度学习里，Softmax则通常作为MLP的输出层。
即，将BP网络和Softmax结合起来，取BP网络的隐层映射机制、Softmax的多分类机制，加以组合形成新的MLP架构。
这么做的原因就是，传统BP网络的输出层是个多神经元的自行设计接口层，比如常见的log2(K)方法，转多分类需要麻烦的编码。
但实际上，隐层（可看作是input）到输出层的映射原理等效于Softmax，既然Softmax拥有概率取分类的方法，何必再用低效的编码方法？
Part I 如何从2类转化为K类？
解决方案是引入K组（W、b）参数，即有K个分隔超平面，选择maxP（Y=j|xi,θ,b)maxP（Y=j|xi,θ,b)作为最终分类即可。
由于存在K组参数，原来的h(θ)=sigmoid(Inner)h(θ)=sigmoid(Inner)将从单个值，变成一个大小为K的向量。
Part II 变化的目标函数
Logistic的目标函数： J(θ)=∑mi=1(1−y(i))log(1−hθ(xi)+yilog(hθ(x(i)))J(θ)=∑i=1m(1−y(i))log(1−hθ(xi)+yilog(hθ(x(i)))
在Softmax里，由于hθ(x(i)hθ(x(i)已经变成了向量，所以不能再使用。
实际上，在Logistic的推导里，hθ(x(i))hθ(x(i))只是偶然而已，P(y=0|x;θ)=h(θ)P(y=0|x;θ)=h(θ)。
即P(y|x;θ))P(y|x;θ))才是真正的概率分布函数,上述情况只是二项分布的特例。由于y的取值变成的K类，所以新的K项分布概率密度分布表示如下：
P(y(i)=j|x;θ)=eWjXi∑kl=1eWlXiP(y(i)=j|x;θ)=eWjXi∑l=1keWlXi
且定义1{yi=j}=(yi==j)?1:01{yi=j}=(yi==j)?1:0
则 J(θ)=∑mi=1∑lj=01{yi=j}logeWjXi∑kl=1eWlXiJ(θ)=∑i=1m∑j=0l1{yi=j}logeWjXi∑l=1keWlXi
仔细观察，其实就是hθ(x(i))hθ(x(i))这个向量根据y(i)y(i)情况抽取的单个值而已，这就是Logistic函数的修改版本——Softmax函数
梯度变成：∂J(θj)∂θj=∑mi=1x(i)(1{yi=j}−P(y(i)=j|x;θj)),j=1,2....k∂J(θj)∂θj=∑i=1mx(i)(1{yi=j}−P(y(i)=j|x;θj)),j=1,2....k
可以使用梯度上升算法了（下降算法也可，即取均值加上负号，变成负对数似然函数）：
θnewj=θnewj+α∂J(θj)∂θj,j=1,2....kθjnew=θjnew+α∂J(θj)∂θj,j=1,2....k
Part III C++代码与实现
Softmax
Part IV 测试
使用Iris鸢尾花数据集：http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Iris，是三类分类问题
该数据集的第三组数据是非线性的，若K=3训练，则因为非线性数据扰乱，错误率很大。
若K=2，则代码等效于Logistic回归，错误率相近。