人工智能--自然演绎推理

从一组已知为真的事实出发，直接运用经典逻辑中的推理规则推出结论的过程称为自然演绎推理。

自然演绎推理所给予的逻辑基础主要包含等价式、永真蕴含式、置换、合一

等价式

定义

设P和D是D上的两个谓词公式，若对D上的任意解释，P与Q都有相同的真值，则称P与Q在D上是等价的。如果D是任意非空个体域，则称P与Q是等价的，记作 $P \Rightarrow{Q}$

谓词公式的一个解释是指对谓词公式中各个变元的一次真值指派

常用等价式：

永真蕴含式

定义

对谓词公式P和Q，如果 $P \rightarrow{Q}$永真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，P为Q的前提，记作 $P \Rightarrow{Q}$。

常用的永真蕴含式

上述等价式和永真蕴含式是进行自然演绎推理的重要依据，因此这些公式也被称为推理规则。

置换

在不同谓词公式中，往往会出现多个谓词的谓词名相同但是个体不同的情况，此时推理过程是不能直接进行匹配的，需要先进行边缘的替换。

定义

替换是形如 $\{t_1/x_1,t_2/x_2,...,t_n/x_n\}$的有限集合。其中 $t_1$、 $t_2$,…, $t_n$是项。 $x_1$、 $x_2$、,…, $x_n$是互不相同的变元。 $t_i/x_i$表示用 $t_i$替换 $x_i$，并且要求 $t_i$不能与 $x_i$相同， $x_i$不能循环的出现在另一个 $t_i$中。

通常，置换是用希腊字母来表示的。

例示

定义

设 $\theta = \{t_1/x_1,t_2/x_2,...,t_n/x_n\}$是一个置换，F是一个谓词公式，把公式F中出现的所有 $x_i$换成 $t_i$，得到一个新的公式G，称G为F在替换 $\theta$下的例示，记为 $G=F\theta$

一个谓词公式的任何例示都是该公式的逻辑结论。

合成

定义

合一

定义

合一可以简单地理解为利用置换使两个或多个谓词的个体一致。

设有公式集 $F=\{F_1,F_2,..,F_n\}$，若存在一个置换 $\theta$，可使 $F_1\theta=F_2\theta=...=F_n\theta$，则称 $\theta$是F的一个合一，称 $F_1,F_2,...,F_n$是可合一的。

自然演绎推理的方法

自然演绎推理最基本的方法是三段论推理，包括了假言推理、拒取式推理、假言三段论等。

例如：

优点

• 证明过程自然，易于理解
• 有丰富的推理规则可用

缺点

• 容易产生知识爆炸，即推理过程中得到的中间结论一般按指数规律递增