【CS231n】斯坦福大学李飞飞视觉识别课程笔记（九）：最优化笔记（上）

【CS231n】斯坦福大学李飞飞视觉识别课程笔记

由官方授权的CS231n课程笔记翻译知乎专栏——智能单元，比较详细地翻译了课程笔记，我这里就是参考和总结。

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【CS231n】斯坦福大学李飞飞视觉识别课程笔记（九）：最优化笔记（上）

简介

在上一节中，我们介绍了图像分类任务中的两个关键部分：

基于参数的评分函数。该函数将原始图像像素映射为分类评分值（例如：一个线性函数）。
损失函数。该函数能够根据分类评分和训练集图像数据实际分类的一致性，衡量某个具体参数集的质量好坏。损失函数有多种版本和不同的实现方式（例如：Softmax或SVM）。

上节中，线性函数的形式是 $f(x_i, W)=Wx_i$ ，而SVM实现的公式是：

$L=\displaystyle\frac{1}{N}\sum_i\sum_{j\not= y_i}[max(0,f(x_i;W)_j-f(x_i;W)_{y_i}+1)]+\alpha R(W)$

对于图像数据 $x_i$ ，如果基于参数集 $W$ 做出的分类预测与真实情况比较一致，那么计算出来的损失值 $L$ 就很低。现在介绍第三个，也是最后一个关键部分：最优化Optimization。最优化是寻找能使得损失函数值最小化的参数 $W$ 的过程。

铺垫：一旦理解了这三个部分是如何相互运作的，我们将会回到第一个部分（基于参数的函数映射），然后将其拓展为一个远比线性函数复杂的函数：首先是神经网络，然后是卷积神经网络。而损失函数和最优化过程这两个部分将会保持相对稳定。

损失函数可视化

本课中讨论的损失函数一般都是定义在高维度的空间中（比如，在 $CIFAR-10$ 中一个线性分类器的权重矩阵大小是 [10x3073] ，就有30730个参数），这样要将其可视化就很困难。然而办法还是有的，在1个维度或者2个维度的方向上对高维空间进行切片，就能得到一些直观感受。例如，随机生成一个权重矩阵 $W$ ，该矩阵就与高维空间中的一个点对应。然后沿着某个维度方向前进的同时记录损失函数值的变化。换句话说，就是生成一个随机的方向 $W_1$ 并且沿着此方向计算损失值，计算方法是根据不同的 $a$ 值来计算 $L(W+aW_1)$ 。这个过程将生成一个图表，其x轴是 $a$ 值， $y$ 轴是损失函数值。同样的方法还可以用在两个维度上，通过改变 $a,b$ 来计算损失值 $L(W+aW_1+bW_2)$ ，从而给出二维的图像。在图像中， $a,b$ 可以分别用 $x$ 和 $y$ 轴表示，而损失函数的值可以用颜色变化表示：

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一个无正则化的多类SVM的损失函数的图示。左边和中间只有一个样本数据，右边是 $CIFAR-10$ 中的100个数据。左： $a$ 值变化在某个维度方向上对应的的损失值变化。中和右：两个维度方向上的损失值切片图，蓝色部分是低损失值区域，红色部分是高损失值区域。注意损失函数的分段线性结构。多个样本的损失值是总体的平均值，所以右边的碗状结构是很多的分段线性结构的平均（比如中间这个就是其中之一）。

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我们可以通过数学公式来解释损失函数的分段线性结构。对于一个单独的数据，有损失函数的计算公式如下：

$Li=\sum_{j\not=y_i}[max(0,w^T_jx_i-w^T_{y_i}x_i+1)]$

通过公式可见，每个样本的数据损失值是以 $W$ 为参数的线性函数的总和（零阈值来源于 $max(0,-)$ 函数）。 $W$ 的每一行（即 $w_j$ ），有时候它前面是一个正号（比如当它对应错误分类的时候），有时候它前面是一个负号（比如当它是是正确分类的时候）。为进一步阐明，假设有一个简单的数据集，其中包含有3个只有1个维度的点，数据集数据点有3个类别。那么完整的无正则化SVM的损失值计算如下：

$L_0=max(0,w^T_1x_0-w^T_0x_0+1)+max(0,w^T_2x_0-w^T_0x_0+1)$
$L_1=max(0,w^T_0x_1-w^T_1x_1+1)+max(0,w^T_2x_1-w^T_1x_1+1)$
$L_2=max(0,w^T_0x_2-w^T_2x_2+1)+max(0,w^T_1x_2-w^T_2x_2+1)$
$L=(L_0+L_1+L_2)/3$

因为这些例子都是一维的，所以数据 $x_i$ 和权重 $w_j$ 都是数字。观察 $w_0$ ，可以看到上面的式子中一些项是 $w_0$ 的线性函数，且每一项都会与0比较，取两者的最大值。可作图如下：

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从一个维度方向上对数据损失值的展示。 $x$ 轴方向就是一个权重， $y$ 轴就是损失值。数据损失是多个部分组合而成。其中每个部分要么是某个权重的独立部分，要么是该权重的线性函数与0阈值的比较。完整的SVM数据损失就是这个形状的30730维版本。

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需要多说一句的是，你可能根据SVM的损失函数的碗状外观猜出它是一个凸函数。关于如何高效地最小化凸函数的论文有很多，你也可以学习斯坦福大学关于（凸函数最优化）的课程。但是一旦我们将 $f$ 函数扩展到神经网络，目标函数就就不再是凸函数了，图像也不会像上面那样是个碗状，而是凹凸不平的复杂地形形状。

不可导的损失函数。作为一个技术笔记，你要注意到：由于max操作，损失函数中存在一些不可导点（kinks），这些点使得损失函数不可微，因为在这些不可导点，梯度是没有定义的。但是次梯度（subgradient）依然存在且常常被使用。在本课中，我们将交换使用次梯度和梯度两个术语。

最优化 Optimization

重申一下：损失函数可以量化某个具体权重集 $W$ 的质量。而最优化的目标就是找到能够最小化损失函数值的 $W$ 。我们现在就朝着这个目标前进，实现一个能够最优化损失函数的方法。对于有一些经验的同学，这节课看起来有点奇怪，因为使用的例子（SVM 损失函数）是一个凸函数问题。但是要记得，最终的目标是不仅仅对凸函数做最优化，而是能够最优化一个神经网络，而对于神经网络是不能简单的使用凸函数的最优化技巧的。

策略#1：一个差劲的初始方案：随机搜索

既然确认参数集W的好坏蛮简单的，那第一个想到的（差劲）方法，就是可以随机尝试很多不同的权重，然后看其中哪个最好。过程如下：

# 假设X_train的每一列都是一个数据样本（比如3073 x 50000）
# 假设Y_train是数据样本的类别标签（比如一个长50000的一维数组）
# 假设函数L对损失函数进行评价

bestloss = float("inf") # Python assigns the highest possible float value
for num in xrange(1000):
	W = np.random.randn(10, 3073) * 0.0001 # generate random parameters
    loss = L(X_train, Y_train, W) # get the loss over the entire training set
    if loss < bestloss: # keep track of the best solution
    	bestloss = loss
    	bestW = W
    print 'in attempt %d the loss was %f, best %f' % (num, loss, bestloss)

# 输出:
# in attempt 0 the loss was 9.401632, best 9.401632
# in attempt 1 the loss was 8.959668, best 8.959668
# in attempt 2 the loss was 9.044034, best 8.959668
# in attempt 3 the loss was 9.278948, best 8.959668
# in attempt 4 the loss was 8.857370, best 8.857370
# in attempt 5 the loss was 8.943151, best 8.857370
# in attempt 6 the loss was 8.605604, best 8.605604
# ... (trunctated: continues for 1000 lines)

在上面的代码中，我们尝试了若干随机生成的权重矩阵 $W$ ，其中某些的损失值较小，而另一些的损失值大些。我们可以把这次随机搜索中找到的最好的权重 $W$ 取出，然后去跑测试集：

# 假设X_test尺寸是[3073 x 10000], Y_test尺寸是[10000 x 1]
scores = Wbest.dot(Xte_cols) # 10 x 10000, the class scores for all test examples
# 找到在每列中评分值最大的索引（即预测的分类）
Yte_predict = np.argmax(scores, axis = 0)
# 以及计算准确率
np.mean(Yte_predict == Yte)
# 返回 0.1555

验证集上表现最好的权重 $W$ 跑测试集的准确率是15.5%，而完全随机猜的准确率是10%，如此看来，这个准确率对于这样一个不经过大脑的策略来说，还算不错嘛！

核心思路：迭代优化。当然，我们肯定能做得更好些。核心思路是：虽然找到最优的权重 $W$ 非常困难，甚至是不可能的（尤其当 $W$ 中存的是整个神经网络的权重的时候），但如果问题转化为：对一个权重矩阵集 $W$ 取优，使其损失值稍微减少。那么问题的难度就大大降低了。换句话说，我们的方法从一个随机的 $W$ 开始，然后对其迭代取优，每次都让它的损失值变得更小一点。

我们的策略是从随机权重开始，然后迭代取优，从而获得更低的损失值。

蒙眼徒步者的比喻：一个助于理解的比喻是把你自己想象成一个蒙着眼睛的徒步者，正走在山地地形上，目标是要慢慢走到山底。在 $CIFAR-10$ 的例子中，这山是30730维的（因为 $W$ 是3073x10）。我们在山上踩的每一点都对应一个的损失值，该损失值可以看做该点的海拔高度。

策略#2：随机本地搜索

第一个策略可以看做是每走一步都尝试几个随机方向，如果某个方向是向山下的，就向该方向走一步。这次我们从一个随机 $W$ 开始，然后生成一个随机的扰动 $\delta W$ ，只有当 $W+\delta W$ 的损失值变低，我们才会更新。这个过程的具体代码如下：

W = np.random.randn(10, 3073) * 0.001 # 生成随机初始W
bestloss = float("inf")
for i in xrange(1000):
    step_size = 0.0001
    Wtry = W + np.random.randn(10, 3073) * step_size
    loss = L(Xtr_cols, Ytr, Wtry)
    if loss < bestloss:
    	W = Wtry
    	bestloss = loss
    print 'iter %d loss is %f' % (i, bestloss)

使用同样的数据（1000），这个方法可以得到 21.4% 的分类准确率。这个比策略一好，但是依然过于浪费计算资源。

策略#3：跟随梯度

前两个策略中，我们是尝试在权重空间中找到一个方向，沿着该方向能降低损失函数的损失值。其实不需要随机寻找方向，因为可以直接计算出最好的方向，这就是从数学上计算出最陡峭的方向。这个方向就是损失函数的梯度（gradient）。在蒙眼徒步者的比喻中，这个方法就好比是感受我们脚下山体的倾斜程度，然后向着最陡峭的下降方向下山。

在一维函数中，斜率是函数在某一点的瞬时变化率。梯度是函数的斜率的一般化表达，它不是一个值，而是一个向量。在输入空间中，梯度是各个维度的斜率组成的向量（或者称为导数derivatives）。对一维函数的求导公式如下：

$\displaystyle\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

当函数有多个参数的时候，我们称导数为偏导数。而梯度就是在每个维度上偏导数所形成的向量。

最优化笔记（上）完。

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