谁是社会网络中最重要的人？

人与人之间的相互联系构成了我们这里将要讨论的社会网络。网络由节点（node）和连接它们的边（edge）构成。例如，你的微信好友可以看作是网络中的一个节点，而连接节点的边可以看作是朋友关系。在万维网中，每个网页是一个节点，而从一个页面到另一个页面的超链接则是这个网络的边。

微信好友的关系是相互的，如果我是你的好友，你也是我的好友。这样的网络称为无向网络(undirected graph/network)。但超链接并非如此，如果我的网站可以链接到维基百科，并不表示维基百科会链接到我的网站。这样的网络称为有向网络(directed graph/network)。

在图论和网络分析中，中心性（Centrality）是判断网络中节点重要性/影响力的指标。在社会网络分析中，一项基本的任务就是鉴定一群人中哪些人比其他人更有影响力，从而帮助我们理解他们在网络中扮演的角色。

那么，什么样的节点是重要的呢？

对节点重要性的解释有很多，不同的解释下判定中心性的指标也有所不同。

1. 点度中心性（degree centrality）

在无向网络中，我们可以用一个节点的度数（相当于你的微信好友数）来衡量中心性。在微博中，谢娜的粉丝数9千多万，她的点度中心性就很高。

这一指标背后的假设是：重要的节点就是拥有许多连接的节点。你的社会关系越多，你的影响力就越强。

图1：使用networkx绘制的蝴蝶结网络

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在上面的蝴蝶结网络中，节点D的连接数是6，和网络中的所有人都建立了直接联系，其他节点的连接数都是3，因此节点D的点度中心性最高。整个网络一共有7个节点，意味着每个人最多可以有6个社会关系。因此，节点D的点度中心性是6/6=1，其他节点的点度中心性是3/6=0.5。

2. 中介中心性（betweenness centrality）

网络中两个非相邻成员之间的相互作用依赖于其他成员，特别是两成员之间路径上的那些成员。他们对两个非相邻成员之间的相互作用具有控制和制约作用。Freeman (1979)认为中间成员对路径两端的成员具有“更大的人际关系影响”。因此，中介中心性的思想是：如果一个成员位于其他成员的多条最短路径上，那么该成员就是核心成员，就具有较大的中介中心性。

计算网络中任意两个节点的所有最短路径，如果这些最短路径中很多条都经过了某个节点，那么就认为这个节点的中介中心性高。回到上面的蝴蝶结网络，假设我们要计算节点D的中介中心性。

首先，我们计算节点D之外，所有节点对之间的最短路径有多少条，这里是15条（在6个节点中选择两个节点即节点对的个数）。
然后，我们再看所有这些最短路径中有多少条经过节点D，例如节点A要想找到节点E，必须经过节点D。经过节点D的最短路径有6条。
最后，我们用经过节点D的最短路径除以所有节点对的最短路径总数，这个比率就是节点D的中介中心性。节点D的中介中心性是6/15=0.6。

如果说点度中心性发现的是网络中的“名人”，那么中介中心性的现实意义是什么呢？

Maksim Tsvetovat&Alexander Kouznetsov在《社会网络分析》一书中有两个例子：

鲍勃徘徊在两个女人之间，他贪恋爱丽丝的美丽和谈吐，亦无法舍弃卡若琳娜的乐天和无忧无虑。但他必须小心谨慎，生怕自己在其中任何一个人面前露馅，这样的关系充满了压力和焦虑
银行家以5%的利率接受A公司的存款，以7%的利率贷款给B公司，这样的关系给银行家带来了巨大的利益。它的前提是，市场中的A公司和B公司不能直接接触，或至少无法轻易地找到对方

鲍勃和银行家的故事尽管截然不同，但他们都处于一种被称为被禁止的三元组(forbidden triad)的关系中，需要确保三元组的末端不能直接联系。没有联系就像网络中出现了一个洞，因此也被称为结构洞。

当网络中众多成员的接触或低成本接触都依赖我时，我就对其他成员有了控制和制约作用。我可以利用这种关系控制信息的流动，套取巨大的利益。当然，这样的关系也充满着压力和紧张。诚如Maksim Tsvetovat&Alexander Kouznetsov所言，商人的成功，不仅取决于他们对不对称信息的利用和经营能力，也需要对创造和维持套利机会带来的压力的高度容忍。

3. 接近中心性（closeness centrality）

点度中心性仅仅利用了网络的局部特征，即节点的连接数有多少，但一个人连接数多，并不代表他/她处于网络的核心位置。接近中心性和中介中心性一样，都利用了整个网络的特征，即一个节点在整个结构中所处的位置。如果节点到图中其他节点的最短距离都很小，那么它的接近中心性就很高。相比中介中心性，接近中心性更接近几何上的中心位置。

假设我们要计算节点D的接近中心性，首先我们计算从节点D到所有其他节点的最短距离。从图中可以判断，节点D到所有其他节点的距离均为1，距离之和为6。因此，节点D的接近中心性为(7-1)/6=1。分母为网络中节点总数减去1。也就是说，如果一个人可以直接跟网络中所有其他人联系，那么他/她的接近中心性就是1。对于其他节点，如节点A的接近中心性为(7-1)/24=0.667。

接近中心性高的节点一般扮演的是八婆的角色（gossiper）。他们不一定是名人，但是乐于在不同的人群之间传递消息。

4. 特征向量中心性（eigenvector centrality）

特征向量中心性的基本思想是，一个节点的中心性是相邻节点中心性的函数。也就是说，与你连接的人越重要，你也就越重要。

特征向量中心性和点度中心性不同，一个点度中心性高即拥有很多连接的节点特征向量中心性不一定高，因为所有的连接者有可能特征向量中心性很低。同理，特征向量中心性高并不意味着它的点度中心性高，它拥有很少但很重要的连接者也可以拥有高特征向量中心性。

考虑下面的图，以及相应的5x5的邻接矩阵(Adjacency Matrix)，A。

邻接矩阵的含义是，如果两个节点没有直接连接，记为0，否则记为1。

现在考虑x，一个5x1的向量，向量的值对应图中的每个点。在这种情况下，我们计算的是每个点的点度中心性（degree centrality），即以点的连接数来衡量中心性的高低。

矩阵A乘以这个向量的结果是一个5x1的向量：

结果向量的第一个元素是用矩阵A的第一行去“获取”每一个与第一个点有连接的点的值（连接数，点度中心性），也就是第2个、第3个和第4个点的值，然后将它们加起来。

换句话说，邻接矩阵做的事情是将相邻节点的求和值重新分配给每个点。这样做的结果就是“扩散了”点度中心性。你的朋友的朋友越多，你的特征向量中心性就越高。

我们继续用矩阵A乘以结果向量。如何理解呢？实际上，我们允许这一中心性数值再次沿着图的边界“扩散”。我们会观察到两个方向上的扩散（点既给予也收获相邻节点）。我们猜测，这一过程最后会达到一个平衡，特定点收获的数量会和它给予相邻节点的数量取得平衡。既然我们仅仅是累加，数值会越来越大，但我们最终会到达一个点，各个节点在整体中的比例会保持稳定。

现在把所有点的数值构成的向量用更一般的形式表示：

我们认为，图中的点存在一个数值集合，对于它，用矩阵A去乘不会改变向量各个数值的相对大小。也就是说，它的数值会变大，但乘以的是同一个因子。用数学符号表示就是：

满足这一属性的向量就是矩阵M的特征向量。特征向量的元素就是图中每个点的特征向量中心性。

特征向量中心性的计算需要读者具备矩阵乘法和特征向量的知识，但不影响这里读者对特征向量中心性思想的理解，不再赘述。

5. 有向图与PageRank

PageRank是衡量有向网络中节点重要性的指标。

我们将万维网抽象成有向图：（1）每个网页抽象成一个节点，假设有A、B、C、D四个节点；（2）用户通过超链接在网页之间跳转，这种跳转是有方向的（directed），从网页A跳转到网页B不代表可以从网页B链接到网页A，这种节点之间的有方向的连接被抽象成有方向的边。整个网络构成一个有向图。

你可以很轻易地找到最受欢迎的网页。但是，PageRank的思想认为，指标最好还需要考虑到指向你的那些网页。也就是说，来自受欢迎的网页的跳转应该重于不太受欢迎的网页的跳转。这就是PageRank思想的精华，Google就是利用这一思想来给网站排名的。这里的思想依据和特征向量中心性其实是一致的。

首先，我们假设用户停留在一个页面时，跳转到每个链接页面的概率是相同的。例如，用户停留在页面A，他可以跳转到B、C、D三个页面，我们假设用户跳转到每个页面的概率相同，也就是说用户跳转到每个页面的概率均为1/3。我们可以用下面的转移矩阵（Transition Matrix）来表示整个有向图的情况：

假设有向图中有n个节点，那么M就是一个n行n列的矩阵，其中的第i行第j列代表从页面j跳转到页面i的概率。例如，M矩阵的第一行代表从ABCD跳转到页面A的概率。

然后，我们设每个页面的初始rank为1/4，4个页面的初始rank构成向量v：

用M第一行乘以向量v，得到的就是页面A最新rank的合理估计：0*1/4+1/2*1/4+0*1/4+1/2*1/4=1/4。Mv的结果就是ABCD四个页面的新rank：

然后用M再乘以新的rank向量，又会产生一个新的rank向量。迭代这一过程，Mv结果各个值的相对大小会保持稳定。也就是说，其结果等于用一个标量乘以v。

满足这一属性的向量就是矩阵M的特征向量。这里的结果会收敛在[1/4, 1/4, 1/5, 1/4]，这就是A、B、C、D最后的PageRank。这一结果表明，相比于网页C, ABD更为重要。

上述方程式假设上网者一定是通过网页上的链接进行跳转的，但实际上，上网者在每一步都有可能在地址栏随机输入一个网址，跳转到其他页面，而不是点击网页上的链接。或者，上网者可能到达一个没有任何链出页面的网页，这时他会随机到另外的页面进行浏览。

想象有两个网页的简单例子，网页A链接到B，但B无法链接到A。转移矩阵如下：

不断迭代，最后我们得到的是一个0矩阵：

考虑到B比A重要，这一结果是不合理的，它认为A和B同等重要。为了解决这个问题，我们引入“心灵运输”（Teleportation）的概念。它意味着上网者每一步都有可能随机输入一个网址（心灵运输），跳转到其他页面（这意味着每一步，网络上的每个网页都有一定的概率被访问到，它的概率为(1-d)/N，即上网者心灵运输的概率乘以每个网页被访问的概率），而不是点击网页上的链接。

我们假设上网者在任何页面继续向下浏览的概率为d=0.85。d也被称为阻尼系数（damping factor）。1-d=0.15就是上网者停止点击，随机跳到新网址的概率，即心灵运输的概率。设网页总数为N，那么跳转到任一网页的概率为N。因此，调整后的方程式如下：