题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257
题意：
给定正整数 $n,k$，求 $(k \bmod 1) + (k \bmod 2) + \cdots + (k \bmod n) = \sum_{i=1}^{n}(k \bmod i)$ 的值。
题解：
显然 $k \bmod i = k - \lfloor k/i \rfloor \times i$，因此 $\sum_{i=1}^{n}(k \bmod i) = \sum_{i=1}^{n}(k - \lfloor k/i \rfloor \times i) = n \cdot k - \sum_{i=1}^{n}(\lfloor k/i \rfloor \times i)$。
对于任意正整数 $x \in [1,k]$， 设 $g(x) = \lfloor \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \rfloor$，不难得出 $\lfloor k/x \rfloor \le k/x \Rightarrow \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \ge \frac{k}{k/x} \Rightarrow \lfloor \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \rfloor \ge \lfloor \frac{k}{k/x} \rfloor$，即 $g(x) \ge \lfloor \frac{k}{k/x} \rfloor = \lfloor x \rfloor = x$。
又根据 $f(x) = \frac{k}{x}$ 是一个单调递减函数，得到
$f(g(x)) \le f(x) \Rightarrow \frac{k}{g(x)} \le \frac{k}{x} \Rightarrow \lfloor \frac{k}{g(x)} \rfloor \le \lfloor \frac{k}{x} \rfloor$
另一方面，根据 $g(x) \le \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor}$ 还能得出
因此，综上可以得出 $\lfloor \frac{k}{g(x)} \rfloor = \lfloor \frac{k}{x} \rfloor$；也就是说，对于任意的正整数 $i \in [x,g(x)]$，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 都是相等的。
而与此同时，对于任意的正整数 $i \in [1,k]$，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值最多只有 $2 \sqrt{k}$ 个，这是因为：
当 $i \le \sqrt{k}$ 时，$i$ 最多只有 $\sqrt{k}$ 个选择，相对应地，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 也就最多 $\sqrt{k}$ 个值；而当 $i > \sqrt{k}$ 时，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor \le \frac{k}{i} < \sqrt{k}$，即 $\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 只能取 $1 \sim \sqrt{k}$ 之间的值。
所以，对于任意的正整数 $i \in [1,k]$，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值划分成 $O(\sqrt{k})$ 段。每一段上 $i \in [x,g(x)]$，$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值都等于 $\lfloor \frac{k}{x} \rfloor$。而在这一段中，$\sum_{i=x}^{g(x)}(\lfloor k/i \rfloor \times i) = \lfloor k/x \rfloor \sum_{i=x}^{g(x)}i$，即一个等差数列的求和。因此这个算法时间复杂度为 $O(\sqrt{k})$。
AC代码：
/************************************************************** Problem: 1257 User: Dilthey Language: C++ Result: Accepted Time:20 ms Memory:1288 kb ****************************************************************/ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll n,k,ans; inline ll g(ll x){return k/(k/x);} inline ll sum(ll L,ll R){return (L+R)*(R-L+1)/2;} int main() { while(cin>>n>>k) { ll ans=n*k; n=min(n,k); for(ll x=1;x<=n;x=g(x)+1) { ll y=min(g(x),n); ans-=(k/x)*sum(x,y); } cout<<ans<<endl; } }