2019.01.20【CQOI2007】【BZOJ1257】【洛谷P2261】余数求和（整除分块）

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解析：

为什么我开始做这种水题了。。。

为了准备数论讲义。。。又是一道开博客之前就水了的数论题。

思路：

我们要求的是： $\sum_{i=1}^nk\%i$

首先取模这种东西乍一看根本没法做。。。

记住一句话，取模不是一种运算，取模是一种环境。

这也是为什么这个符号 $\equiv$叫同余而不是其他什么东西，因为两个元素在这个环境下才是等价的。

所以要丢掉取模的符号： $\begin{aligned} Ans=&\sum_{i=1}^n(k-i\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)\\ =&nk-\sum_{i=1}^{n}i\lfloor\frac{k}{i}\rfloor \end{aligned}$

后面这个东西显然只有不超过 $O(\sqrt k)$种取值，整除分块即可，然后 $O(1)$算一算等差数列的和就行了。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define pc putchar
#define cs const
int n,k;
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	ll ans=(ll)n*k; 
	for(int re i=1,j;i<=n;i=j+1){
		if(k/i)j=min(k/(k/i),n);
		else j=n;
		ans-=(ll)(k/i)*(j-i+1)*(j+i)/2;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}