[Jzoj] 3055.比赛

题目大意

有两个队伍 $A$和 $B$，每个队伍都有 $n$个人。

这两支队伍之间进行 $n$场 $1$对 $1$比赛，每一场都是由 $A$中的一个选手与 $B$中的一个选手对抗。同一个人不会参加多场比赛，每个人的对手都是随机而等概率的。

每个选手都有一个非负的实力值。如果实力值为 $X$和 $Y$的选手对抗，那么实力值较强的选手所在的队伍将会获得 $(X-Y)^2$的得分。

求 $A$的得分减 $B$的得分的期望值。

题目解析

根据期望的和 $=$和的期望，只需把 $A$队每个人的期望得分减去 $B$队每个人的期望得分即为答案。

$A$队某人 $X$的期望得分为

（其中 $y$为 $B$队中实力低于 $X$的人， $P$代表 $X$和 $Y$相遇的概率）。

显然任意两个人相遇的概率是相等的， $=$两人第一场相遇的概率 $+$两人第一场不相遇的概率 $*$两人第二场相遇的概率 $+$……。

排序后只需枚举一个人 $i$，用一个指针指着另一 队中实力比 $i$弱的里面最强的人，维护实力值的前缀和，实力值平方的前缀和即可算出期望。

显然指针只可能向右移动，所以这一步是线性的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
using namespace std;
L n,l,r,t,ans,z,y;
L a[50005],b[50005],q1[50005],q2[50005];
double s,x=1;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) x*=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	sort(b+1,b+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 q1[i]=q1[i-1]+b[i],q2[i]=q2[i-1]+(b[i]*b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	  while(a[i]>b[t]&&t<=n)
	   t++;
	  z=(t-1)*a[i]*a[i]+q2[t-1]-2*a[i]*q1[t-1];
	  y=(n-t+1)*a[i]*a[i]+q2[n]-q2[t-1]-2*a[i]*(q1[n]-q1[t-1]);
	  ans+=z-y;
	}
	s=ans;
	cout<<fixed<<setprecision(1)<<s/n;
}