jzoj3055-比赛【数学,统计】

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正题

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题目大意

$2*n$个人， $A$队 $B$队各 $n$各，有不同的战斗力。两个队的人随机 $PK$，每次 $PK$的价值为 $(X-Y)^2$加入获胜队。求 $A$队期望比 $B$队多多少分。

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解题思路

首先根据全排列我们发现其实每一个人打别的队的任何一个人的概率都是 $\frac{1}{n}$。

将 $a$和 $b$数组排序，然后找到一个位置 $z$使得 $a_i>a_j(j\in [1..z])$，然后答案
$\frac{\sum_{j=1}^z(a_i-a_j)^2}{n}$
$\frac{a_i^2*z+\sum_{j=1}^z b_j^2+a_i*\sum_{j=1}^{z}b_j}{n}$
两个 $\sum$前缀和预处理，计算出 $A$的分数。
同理计算 $B$

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=51000;
ll n,a[N],b[N],suma[N],sumb[N],z,sumpa[N],sumpb[N],sum,ans1,ans2;
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	  scanf("%lld",&a[i]);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	  scanf("%lld",&b[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	sort(b+1,b+1+n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
	  	suma[i]=suma[i-1]+a[i];
		sumb[i]=sumb[i-1]+b[i];
		sumpa[i]=sumpa[i-1]+a[i]*a[i];
		sumpb[i]=sumpb[i-1]+b[i]*b[i];
	}
	z=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		while(b[z+1]<=a[i]&&z<n) z++;
		sum+=a[i]*sumb[z];
		ans1+=a[i]*a[i]*z+sumpb[z];	
	}
	ans1=ans1-2*sum;
	sum=0;
	z=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		while(a[z+1]<=b[i]&&z<n) z++;
		sum+=b[i]*suma[z];
		ans2+=b[i]*b[i]*z+sumpa[z];	
	}
	ans2=ans2-2*sum;
	printf("%.1lf",(double)(ans1-ans2)/n);
}