SVD分解求拟合平面原理详解

已知若干三维点坐标(xi,yi,zi),拟合出平面方程ax+by+cz=d (1)

约束条件为 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ (2)

使得该平面到所有点的距离之和最小。

推导过程如下：

所有点的平均坐标为（ $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ ）,则 $a\bar{x}+b\bar{y}+c\bar{z}=d$ . (3)

式（1）与式（3）相减，得 $a(x_{i}-\bar{x})+b(y_{i}-\bar{y})+c(z_{i}-\bar{z})=0$ (4)

假设矩阵 $A=\begin{bmatrix} x_{1}-\bar{x},y_{1}-\bar{y},z_{1}-\bar{z}\\ x_{2}-\bar{x},y_{2}-\bar{y},z_{2}-\bar{z}\\ x_{3}-\bar{x},y_{3}-\bar{y},z_{3}-\bar{z}\\ ...\\ x_{n}-\bar{x},y_{n}-\bar{y},z_{n}-\bar{z} \end{bmatrix}$ ,列矩阵X = $\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ ,则式（4）等价与AX=0 (5)

理想情况下所有点都在平面上，式（5）成立；实际情况下有部分点在平面外，拟合的目的为平面距离所有点的距离之和尽量小，所以目标函数为 $min\left \| AX \right \|$ (6)

约束条件为 $\left \| X \right \|=1$ (7)

若A可做奇异值分解： $A = UDV^{T}$ (8)

其中，D是对角矩阵，U和V均为酉矩阵。

则 $\left \| AX \right \|=\left \| UDV^{T}X \right \|=\left \| DV^{T}X \right \|$ (9)

其中 $V^{T}X$ 为列矩阵，并且 $\left \| V^{T}X \right \|=\left \|X \right \|=1$ (10)

因为D的对角元素为奇异值，假设最后一个对角元素为最小奇异值，则当且仅当 $V^{T}X=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}$ （11）时，式（9）可以取得最小值，即式(6)成立。

此时 $X=V\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{1} &v_{2} &v_{3} &... &v_{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}=v_{n}$ (12)

所以，目标函数（6）在约束条件（7）下的最优解为 $X=(a,b,c)=(v_{n,1},v_{n,2},v_{n,3})$ (13)

综上：对矩阵A做奇异值分解，最小奇异值对应的特征向量就是拟合平面的系数向量。

[转](https://blog.csdn.net/oChenWen/article/details/84373582)

已知若干三维点坐标(xi,yi,zi),拟合出平面方程ax+by+cz=d (1)

SVD分解求拟合平面原理详解

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