从数学上讲，卷积就是一种运算。
某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：
-
首先是抽象的、符号化的
-
其次，在生活、科研中，有着广泛的作用
比如加法：
- a+ba+b，是抽象的，本身只是一个数学符号
- 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等
卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称 为
的卷积
其连续的定义为：
(f∗g)(n)=∫∞−∞f(τ)g(n−τ)dτ(f∗g)(n)=∫−∞∞f(τ)g(n−τ)dτ
其离散的定义为：
(f∗g)(n)=∑−∞∞f(τ)g(n−τ)(f∗g)(n)=∑−∞∞f(τ)g(n−τ)
这两个式子有一个共同的特征：
这个特征有什么意义？
我们令 x=τ,y=n−τx=τ,y=n−τ ，那么 x+y=nx+y=n 就是下面这些直线：
只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子：
把这两枚骰子都抛出去：
求：两枚骰子点数加起来为4的概率为多少?
这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：
那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)
符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：
(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)
3 连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是 f(t)f(t)，那么一天后生产出来的馒头总量为：
∫240f(t)dt∫024f(t)dt
馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t)g(t) ，比如，10个馒头，24小时会腐败：
10∗g(t)10∗g(t)
想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：
∫240f(t)g(24−t)dt∫024f(t)g(24−t)dt
这就是连续的卷积。
4 图像处理
4.1 原理
有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：
高频信号，就好像平地耸立的山峰：
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去，用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到：
4.2 计算
卷积可以帮助实现这一平滑算法。
有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：
然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像。
g=⎡⎣⎢⎢191919191919191919⎤⎦⎥⎥g=[191919191919191919]
记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑 a1,1a1,1 点，就在矩阵中，取出 a1,1a1,1 点附近的点组成矩阵 ff , 和 gg 进行卷积计算后，再填回去：
要注意一点，为了运用卷积，gg 虽然和 ff 同纬度，但下标有点不一样：
我用一个动图来说明下计算过程：
写成卷积公式就是：
(f∗g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1−h,1−k)(f∗g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1−h,1−k)
要求 C4,5C4,5 ，一样可以套用上面的卷积公式。
(f∗g)(m,n)=∑k=m−1m+1∑h=n−1n+1f(h,k)g(m−h,n−k)(对于3∗3的卷积核)(f∗g)(m,n)=∑k=m−1m+1∑h=n−1n+1f(h,k)g(m−h,n−k)(对于3∗3的卷积核)
这相当于实现了 gg 这个矩阵在原来图像上的滑动（准确来说这幅图把 gg 矩阵旋转了 180∘180∘ ）：
