神奇的逆序数
2017-12-16 11:10
先说什么是逆序。比如有两个数2,5，如果从左到右按照从小到大的顺序排列，即25，那么，我们说这种排列是顺序排列。但如果反过来，5在左2在右，即小的数2排在了大的数5的后面，即52，我们就说52是逆序排列。好的，现在来看一看多个数的排列。比如有4个数1,2,3,4。显然，对排列1234，其中任意两个数的顺序都是顺序排列，没有逆序排列。而排列1324中，2排到了比它大的3的后面，所以，存在一个逆序32。我们称没有逆序的排列的逆序数是0，比如1234就是。而在排列1324中，有一个逆序，所以，这个排列的逆序数是1。那么，我们数一数排列2431的逆序数是多少。2…1是一个逆序，43是一个，41是一个，31是一个（注意，成为逆序的两个数不一定非要挨着不可），共四个，所以它的逆序数是4。
我们可以对任意一个数列，计算出它的逆序数的总数是多少。比如：832951764。那么我们怎么计算它的逆序数呢？我看过一些书上有介绍逆序数的，我注意到一个现象，很有趣，就是计算一个数列的逆序数的方法竟然不同。很有意思，都是研究数学问题，但思维方式竟然也会如此不同。我见过有的书上是这样计算逆序数的：就以832951764为例，它是先看左边的第一个数字8，显然，它的左边没有数，所以，对8来说，它的逆序数是0。然后看左边第二个数3，它的左边有一个数8比它在，所以对3来说，它的逆序数是1。对左边第三个数2，它左边有两个数8和3比它大，所以，对2这个数，它的逆序数是2。这样，一个个地计算下去，…，最后，把这个九位数每一位的逆序数加在一起，得到这个九位数的逆序数为：0+1+2+0+2+5+2+3+5=20。注意，这种计算逆序数的方法是把每位数当成逆排的两个数的右边一个数，然后看它的左边的数是比它大还是比它小。
我还见过另一种计算逆序数的方法，也是我本人习惯使用的方法：也是先看左边第一个数8，它的右边有7个数比它小，所以对8来说，逆序数是7。然后看左边第二个数3，它的右边有2和1比它小，所以逆序数是2。这样一直计算下去，也是可以分别得到九个逆序数，把它们加起来就得到832951764这个九位数的逆序数为：7+2+1+5+2+0+2+1+0=20。这第二种方法是看一个数的右边有几个数比它小。当然了，这两种方法计算的结果一定是相等的。
你倾向于或习惯于哪一种方法呢？
上面介绍了逆序数及一个多位数的逆序数的计算方法。有种所谓的“十五子棋”，对它进行研究，发现逆序数在其中发挥着关键作用。可以说，这“十五子棋”中，只要按照规则，不管怎么移动，都有一个量是不变的，那就是它的逆序数的奇偶性。一副摆放好的十五子棋，其逆序数要么是奇数，要么是偶数，不管怎么移动都不会改变。比如下图所示：
注意，一定要把右下角空出来。然后，我们才能去计算它的逆序数。上面的4×4方阵，我们认为它的15个数字是按照横排书阅读的方式排列的，所以，上面这个图的排列等价于：
10 5 4 2 6 1 7 3 9 14 12 15 13 11 8
我们数一数它的逆序数：
9+4+3+1+2+0+1+0+1+4+2+3+2+1+0=33
我们的结论是：如果十五子棋的一种格局是：右下角是空位，15个棋子数字的逆序数是偶数，则它是可以按规则移动成下图所示原始格局的。否则，即逆序数为奇数时（右下角是空位是始终要求的），我们是永远不能够把它移动到原始格局的。
我手头有的一副十五子棋，刚到手时是下图这个样子的。很明显，它的逆序数是1（15与14），且空位在右下角，所以，不管你怎么移动它，把它打乱，再怎么拼，也拼不出上图的原始格局。
上面给出了三幅图，第一副图，即逆序数为33的那个图，它可以变为上图，因为它们在右下角都为空位的情况下，逆序数都为奇数：33和1。
我们说，一副已定的十五子棋，它的逆序数的奇偶性在规则允许的变换下是一个不变量：要么逆序数是奇数，要么是偶数。一副逆序数为奇数的十五子棋是永远不能变成一副逆序数为偶数的十五子棋的。它们就像是两条道上走的车，永远也不能相遇，最多是“擦肩而过”，就比如上图中，就只有最后两个数14和15的位置不对，离原始格局只差这么一点点，但很遗憾，也没有办法。所以，我们在玩它之前，计算一下逆序数，便可以知道我们能不能把它重新拼成原始格局。
我有的那一副刚开始时是不能还原成原始格局的。我当然可以把它的15和14取下来调换，那么我再按规则打乱它的顺序，然后我就可以放心地玩了，我确信我是一定能够再把它拼成原始格局的。
至于如果移动，那似乎不难。我们可以教我们的小孩，让他或她在玩的同时，也思考一下其中的数学思想，应该会是有意义的。
至于为何逆序数的奇偶性不变，也不难发现，因为一个方块左右移动是不改变逆序数的，而上下移动，相当于一个方块移动到了它后面三个方块的后面，或移动到了它前面三个方块的前面，所以，逆序数的奇偶性一定改变，但空位却从原来所在的偶（奇）数行变为奇（偶）数行，行数的奇偶性也变了。奇偶性改变两次相当于没有改变。而我们前面说了，计算奇偶性时必须要求空位在右下角，即它是们于第四行的。具体不再说了，您自己体会一下