Matrix Factorization

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项目地址：https://github.com/Daya-Jin/ML_for_learner
原博客：https://daya-jin.github.io/2019/01/07/MatrixFactorization/

概述

在机器学习领域通常会用到矩阵分解技术，目的就是维度规约或压缩存储，本文做一个简单的总结与概述。

EVD

特征值分解(Eigenvalue Decomposition)，假设对于一个 $n{\times}n$的方阵 $A$，有如下等式成立：

$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$

其中 $\lambda$为常数， $\vec{v}$为列向量。那么满足上式的 $\lambda$为矩阵 $A$的特征值，对应的 $\vec{v}$为特征向量，方阵的特征向量是相互正交的。写成矩阵形式有：

$A=Q{\Sigma}Q^{-1}$

其中 $\Sigma$为特征值由大到小排列构成的对角矩阵， $Q$为特征向量构成的方阵。选取前 $k$大的特征值，那么降维后的 $A$可以表示成：

$A_{reduc}=A_{n{\times}n}(Q^{-1})_{n{\times}k}$

EVD即是PCA的原理。

SVD

奇异值分解(Singular Value Decomposition)，假设对一个 $n{\times}m$的矩阵 $A$，SVD的目标是把 $A$分解成如下形式：

$A=U{\Sigma}V^{T}$

其中 $\Sigma$是与 $A$同形状的奇异值矩阵。由矩阵乘法的性质可得，矩阵 $U$的形状为 $n{\times}n$， $V^{T}$的形状为 $m{\times}m$。同样类似的， $U$与 $V$都是正交方阵。

SVD可以通过EVD来实现，注意到：

$AA^{T}=U\Sigma\Sigma^{T}U^{T} \\ A^{T}A=V\Sigma^{T}{\Sigma}V^{T} \\$

不难发现可以分别通过对 $AA^{T}$和 $A^{T}A$做EVD可以得到 $U$和 $V$，而 $\Sigma$则是特征值的开方。选取前 $k$大的奇异值，那么 $A$可以近似压缩存储成：

$A_{comp}=U_{n{\times}k}\Sigma_{k{\times}k}(V^{T})_{k{\times}m}$

对于降维，有：

$A_{reduc}=A_{n{\times}m}(V^{T})_{m{\times}k}$