$\newcommand{s}[1]{\text{siz}_{#1}}$tarjan is god
势能分析的思路大概是这样：
设总共对数据结构进行$m$次操作，第$i$次操作耗费的时间为$t_i$，要证$\sum\limits_{i=1}^mt_i$不大
引入势能$\Phi$，设第$i$次操作结束后的势能为$\Phi_i$，设$\Delta_i=t_i+\Phi_i-\Phi_{i-1}$，那么$\sum\limits_{i=1}^mt_i=\Phi_0-\Phi_m+\sum\limits_{i=1}^m\Delta_i$
如果能证明$\Phi$比较小（比如$O(n\log n)$），$\Delta_i$也比较小（比如$O(\log n)$），那么就证明了原问题的时间复杂度
对于splay，定义$r(x)=\log_2\s x,\Phi=\sum\limits_xr(x)$，显然$\Phi=O(n\log n)$
只用分析$\Delta_i$，分别考虑三种旋转
单旋：$1$次旋转
$t+\Delta\Phi=1+r'(y)-r(x)\leq1+r'(x)-r(x)$
下面要用到一个结论：当$x+y\leq1,x,y\gt0$时，$\log_2x+\log_2y\leq-2$，证明很简单，只需考虑$x+y=1$，此时有$\log_2x(1-x)\leq-2$
zig-zig：$2$次旋转
$t+\Delta\Phi=2+r'(y)+r'(z)-r(x)-r(y)\leq2+r'(x)+r'(z)-2r(x)$
因为$\s x+\s z'\leq \s x'$，所以$r'(x)+r'(z)-2r'(x)\leq-2$，加到上面就得到$t+\Delta\Phi\leq3(r'(x)-r(x))$
zig-zag：$2$次旋转
$t+\Delta\Phi=2+r'(y)+r'(z)-r(x)-r(y)\leq2+r'(y)+r'(z)-2r(x)$
类似地，因为$\s y'+\s z'\leq\s x'$，所以$r'(y)+r'(z)-2r'(x)\leq-2$，加起来得到$t+\Delta\Phi\leq2(r'(x)-r(x))$
因为$r'(x)\geq r(x)$，所以把上面三种情况全部放缩到$3(r'(x)-r(x))$，求和得到$\Delta_i\leq1+3(r'(rt)-r(x))=O(\log n)$
所以，$m$次splay操作的总时间复杂度为$O((n+m)\log n)$