GSS系列题解——最大子段和系列

开坑啦！

2019 3/28 以前一直不知道怎么搞最大子段和，如今终于可以学习，其实真的很简单啊。

2019 3/29 树链剖分上最大子段和也OK啦

前置技能：线段树

题目大意：询问区间[l,r]的最大字段和

定义：

struct kkk{
    int val;    //表示该区间的权值和
    int left;   //表示该区间的前缀最大和
    int right;  //表示该区间的后缀最大和
    int middle; //表示该区间的最大子段和
    kkk(){val=left=right=middle=0;} //清0
}tree[maxn];

大家都应知道，线段树基本原理，那么最大子段和放在线段树上，其实就是两个区间的合并时怎么将区间关系，pushup区间的问题。

下面给出两个区间合并的方式：合并的区间为res

合并保证x是左区间，y是右区间，x，y相邻。

首先是val的合并，很简单，区间x的val+区间y的val

res.val=x.val+y.val;

然后是left的合并，前缀最大和只有两种情况，要么是x区间的前缀最大和，要么是x的权值和+y的前缀最大和。结果是这两种情况的max值。证明：贪心。

那么right的合并也差不多，要么是y区间的后缀最大和，要么是y的权值+x的后缀最大和。

至于middle就分几种情况：

1.x区间的middle
2.y区间的middle
3.x区间的后缀最大和+y区间的前缀最大和

代码实现合并操作：

kkk merge(kkk x,kkk y){
    kkk res;
    res.val=x.val+y.val;
    res.middle=max(
               max(x.middle,y.middle),
               x.right+y.left
               );
    res.left=max(x.left,x.val+y.left);
    res.right=max(y.right,y.val+x.right);
    return res;
}

那么pushup操作即是将左儿子和右儿子合并。

查询操作

我们查询时返回一个区间，这个区间在查询时会合并成我们想要查询的那个区间，那么那个区间的middle就是我们要求的答案。

kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
    if(begin>=x&&end<=y)return tree[node];      //包含该区间，直接返回
    int mid=(begin+end)>>1;
    kkk Left,Right,res;
    if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y);   //查询左区间
    if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y);   //查询右区间
    return merge(Left,Right);               //合并成一个区间
}

经过思考，我们会发现Left和Right决不是返回整个区间，而是我们要求的区间在Left或Right区间的部分。所以我们可以直接将Left和Right区间合并。

最后输出的就是查询到区间的middle

printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).middle);

下面放完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
#define L(node) (node<<1)
#define R(node) ((node<<1)|1)
using namespace std;
struct kkk{
    int val,left,right,middle;
    kkk(){val=left=right=middle=0;}
}tree[maxn];
int n,m,x,y,a[maxn];
kkk merge(kkk x,kkk y){
    kkk res;
    res.val=x.val+y.val;
    res.middle=max(max(x.middle,y.middle),x.right+y.left);
    res.left=max(x.left,x.val+y.left);
    res.right=max(y.right,y.val+x.right);
    return res;
}
void build(int node,int begin,int end){
    if(begin==end){
        tree[node].val=tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=a[begin];
        return ;
    }else{
        int mid=(begin+end)>>1;
        build(L(node),begin,mid);
        build(R(node),mid+1,end);
        tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
    }
}
kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
    if(begin>=x&&end<=y)return tree[node];      //包含该区间，直接返回
    int mid=(begin+end)>>1;
    if(y<=mid) return query(L(node),begin,mid,x,y);
    if(x>mid)return query(R(node),mid+1,end,x,y);
    kkk Left,Right;
    if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y);   //查询左区间
    if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y);   //查询右区间
    return merge(Left,Right);               //合并成一个区间
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).middle);
    }
}

修改操作

修改操作和普通线段树没有什么区别，求最大子段和只和pushup和查询操作有直接关系，其他的操作几乎一样。当然，这里的修指的是区间赋值，如果是区间加的话可能要更加复杂。

单点修代码：

void update(int node,int begin,int end,int x,int val){
    if(begin==end){
        tree[node].val=tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
        return ;
    }else{
        int mid=(begin+end)>>1;
        if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,val);
        if(x>mid) update(R(node),mid+1,end,x,val);
        pushup(node);
    }
}

区间修

其实和线段树也是一模一样的，不信看代码：

void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
    if(begin>=x&&end<=y){
        change(node,begin,end,val);
        return ;
    }else{
        pushdown(node,begin,end);
        int mid=(begin+end)>>1;
        if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
        if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
        tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
    }
}

容易发现，整体的结构和线段树的区间修是一模一样的，但是赋值变成了change，更新pushdown很迷，下面一起来看一下。

change操作是赋值操作，也就是和线段树一模一样的。

void change(int node,int begin,int end,int val){
    tree[node].val=(end-begin+1)*val;
    tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
    tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}

可以发现，这里有个flag，表示的是该区间有没有被打tag标记。我们不可以直接让tag=0来判断标记，因为可能tag是赋值为0的，所以我们要用flag来记录有没有打tag。这是一个小细节。

剩下就是pushdown操作了，就是注意一下用flag来判断就好。其他赋值都可以用change来代替，写起来方便很多。

void pushdown(int node,int begin,int end){
    if(tree[node].flag==1){
        int mid=(begin+end)>>1;
        change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
        change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
        tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
    }
}

那么区间修的代码就这些了，直接调用就可以了。

区间修代码：

void change(int node,int begin,int end,int val){
    tree[node].val=(end-begin+1)*val;
    tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
    tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}
void pushdown(int node,int begin,int end){
    if(tree[node].flag==1){
        int mid=(begin+end)>>1;
        change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
        change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
        tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
    }
}
void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
    if(begin>=x&&end<=y){
        change(node,begin,end,val);
        return ;
    }else{
        pushdown(node,begin,end);
        int mid=(begin+end)>>1;
        if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
        if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
        tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
    }
}

允许有空集

前面的代码里都是不允许空集的，那么允许空集是怎样的呢？

其实只需要改一点就可以了。赋值判断一下大于0还是小于0，如果小于0就在left，right，middle赋值为0。

定义：

struct kkk{
    int val,left,right,middle,tag,flag;
    kkk(){left=right=middle=val=0;} //清0
}tree[maxn];

query：

kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
    if(begin>=x&&end<=y)return tree[node];
    int mid=(begin+end)>>1;
    pushdown(node,begin,end);
    kkk Left,Right;
    if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y);
    if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y);
    return merge(Left,Right);
}

update:

void change(int node,int begin,int end,int val){
    tree[node].val=(end-begin+1)*val;
    tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=max(val,0);  //负数不如0
    tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}
void pushdown(int node,int begin,int end){
    if(tree[node].flag==1){
        int mid=(begin+end)>>1;
        change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
        change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
        tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
    }
}
void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
    if(begin>=x&&end<=y){
        change(node,begin,end,val);
        return ;
    }else{
        pushdown(node,begin,end);
        int mid=(begin+end)>>1;
        if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
        if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
        tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
    }
}

build：

void build(int node,int begin,int end){
    if(begin==end){
        tree[node].val=a[begin];tree[node].flag=0;
        tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=max(0,a[begin]);     //负数不如0
        return ;
    }else{
        int mid=(begin+end)>>1;
        build(L(node),begin,mid);
        build(R(node),mid+1,end);
        tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
    }
}

树上最大子段和

终于到树链剖分啦，传说什么区间问题都能搬到树上，最大子段和也不例外。

先来看看GSS7，要支持两个操作。一查询，二修改。

建树就不用说了吧。

首先修改操作，和普通树链剖分一样，用上面的区间修代码加树链剖分就OK辽。

树链剖分过程
void linkadd(int x,int y,int z){
    int fx=top[x],fy=top[y];
    while(fx!=fy){
        if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
        update(1,1,seg[0],seg[fx],seg[x],z);
        x=father[fx];fx=top[x];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    update(1,1,seg[0],seg[x],seg[y],z);
}

重点是查询！

查询

我们知道树链剖分的核心就在于把树上的链化为序列。所以我们在树链剖分的过程中将链上的序列合并，最后得出的序列即为要求序列。

那么怎么在跳重链的过程将序列合并呢？

我们维护两个结构体L和R，分别表示左链上的序列和右链上的序列。什么意思呢？两个点x和y的最近公共祖先F只有一个。那么我们称F到x那一段为左链，F到y那一段为右链。

跳重链的过程可能是一下跳到F到x那一段，一下跳到F到y那一段，所以如果在F到x那一段，我们将那段区间加入到L，不然加入到R。

最后将L和R合并即是最后序列。小细节：要将L的left和right互换再合并。

还是挺复杂的，看看代码注释比较有帮助：

kkk linkquery(int x,int y){
    kkk L,R;
    int fx=top[x],fy=top[y];
    while(fx!=fy){              //跳重链
        if(dep[fx]<dep[fy]){
            R=merge(query(1,1,n,seg[fy],seg[y]),R);     //跳到了F到y那边，和R合并
            y=father[fy];fy=top[y];
        }else{
            L=merge(query(1,1,n,seg[fx],seg[x]),L);     //跳到了F到x那边，和L合并
            x=father[fx];fx=top[x];
        }
    }
    if(dep[x]>dep[y]){
        L=merge(query(1,1,n,seg[y],seg[x]),L);          //同上
    }else{
        R=merge(query(1,1,n,seg[x],seg[y]),R);
    }
    swap(L.left,L.right);               //交换
    return merge(L,R);              //合并L,R
}

剩下也差不多，代码比较长，放剪切板里：GSS7代码

To be continue……