SPOJ GSS1 (区间最大子段和)（线段树）

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想要补camp里的那道区间最大k子段和，结果发现自己连怎么求区间最大字段和都不会。。。菜是原罪，于是找了GSS来补一下（虽然我连GSS是什么都不知道hhh

题目

题意

给一个长度为$n$的序列，$m$次查询，每次查询一个区间$[l,r]$中的最大子段和（要求为连续子序列）。

思路

对于一个固定区间，求最大子段和我们有$O\left(n\right)$的算法。但是如何维护不同区间的$LIS$就成了一个问题。我们选择线段树解决区间问题，但使用线段树的话，我们需要明白，维护什么值，以及如何进行区间操作。

那么我们思考，对于相邻的两个区间，他们的$LIS$有几种可能？
1. 左侧区间的$LIS$
2. 右侧区间的$LIS$
3. 两个区间合并后，中间新连接的部分
前两点都好理解，针对第三点我们继续思考，中间部分能够成为$LIS$，其实就是我们从连接部分分别向前向后，获得一个尽可能大的前/后缀和。那么我们维护或者合并区间的$LIS$就需要维护三个值，区间最大子段和，最大前缀和，最大后缀和。而我们在合并区间的时候，如何维护前/后缀和呢？我们需要多维护一个区间和。

整理我们得到，定义区间$ls, \; rs$合并得到区间d，每个区间维护区间和$sum$，区间最大字段和$maxs$，区间最大前缀和$maxl$，区间最大后缀和$maxr$。则合并区间时，可得关系如下
1. $d.sum = ls.sum + rs.sum$
2. $d.maxs = \max\left(ls.maxs,\, rs.maxs,\, ls.maxr+rs.maxl\right)$
3. $d.maxl = \max\left( ls.maxl,\, ls.sum+rs.maxl\right)$
4. $d.maxr = \max\left(rs.maxr,\, rs.sum+ls.maxr\right)$
用线段树维护即可

代码

struct Node{
    int l, r;
    int sum, maxs, maxl, maxr;  //区间和, 区间最大子段和, 最大前缀和, 最大后缀和
}tree[maxn<<2];
int num[maxn];               //数值数组

void build(int i, int l, int r){
    tree[i].l = l;
    tree[i].r = r;
    if(l == r){
        tree[i].sum  = num[l];
        tree[i].maxs = num[l];
        tree[i].maxl = num[l];
        tree[i].maxr = num[l];
        return ;
    }

    int mid = (l+r)>>1;
    build(i<<1, l, mid);
    build(i<<1|1, mid+1, r);    //子树建树后更新特征值
    tree[i].sum = tree[i<<1].sum + tree[i<<1|1].sum;
    tree[i].maxs = max(max(tree[i<<1].maxs, tree[i<<1|1].maxs), tree[i<<1].maxr+tree[i<<1|1].maxl);
    tree[i].maxl = max(tree[i<<1].maxl, tree[i<<1].sum+tree[i<<1|1].maxl);
    tree[i].maxr = max(tree[i<<1|1].maxr, tree[i<<1|1].sum+tree[i<<1].maxr);

    return ;
}

Node query(int i, int l, int r){
    if(tree[i].l==l && tree[i].r==r)
        return tree[i];

    int mid = (tree[i].l+tree[i].r)>>1;
    if(mid >= r)
        return query(i<<1, l, r);
    else if(mid < l)
        return query(i<<1|1, l, r);
    else {
        Node ls = query(i, l, mid);
        Node rs = query(i, mid+1, r);
        Node ans;
        ans.maxs = max(max(ls.maxs, rs.maxs), ls.maxr+rs.maxl);
        ans.maxl = max(ls.maxl, ls.sum+rs.maxl);
        ans.maxr = max(rs.maxr, rs.sum+ls.maxr);
        ans.sum  = ls.sum + rs.sum;
        return ans;
    }
}

int main()
{
    int n, m;
    sd(n);
    rep(i, 1, n+1)
        sd(num[i]);

    build(1, 1, n);
    sd(m);
    rep(i, 0, m) {
        int l, r;
        sdd(l, r);
        Node ans = query(1, l, r);
        printf("%d\n", ans.maxs);
    }

    return 0;
}

这份代码的特点在于，由于不知道哪个区间是需要的，所以query函数返回了一个Node结构体，在递归调用中储存了之后可能用到的信息。需要注意信息维护的顺序，因为这个WA了两发…