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【题目】
lydsy
一棵果树每个节点恰好有两个分支,初始只有一个根节点,每天果树会随机选择一个当前没有长出过节点的分支长出节点。求
天后期望树点对之间距离和
,输出
对
取模的结果。
【解题思路】
观察到模数可能不是一个素数,而每一天会增加一种选择长出节点的方式,于是实际上这样生成的树有
种,我们就可以知道输出中乘上的
有什么用了。
那么这是一个计数题,我们考虑生成树中每条边对答案的贡献,设子树大小为 ,那么就是 。不妨枚举每个节点 ,考虑其父边的贡献,那么我们需要再枚举一个子树大小 ,它的贡献就是 。考虑它出现在多少中方案中,可以由子树内的形态和子树外的形态相乘。
对于子树内的形态数显然就是 ,其意义为每种选择编号方式有 种生成树,而选择的节点编号必须大于 。
对于子树外的形态数,首先我们要生成到 这棵子树,那么由 的点组成的二叉树形态是 种的。接下来我们将剩余的 个点挂到树上,且不能往 子树中插入点,那么形态数就是 。上面两个东西乘起来可以化简为
于是最后的答案就是
【参考代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
int n,mod,ans;
int fac[N],C[N][N];
int upm(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
void up(int &x,int y){x=upm(x+y);}
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int main()
{
#ifdef Durant_Lee
freopen("BZOJ5305.in","r",stdin);
freopen("BZOJ5305.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&mod);fac[0]=C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
fac[i]=mul(fac[i-1],i);C[i][i]=C[i][0]=1;
for(int j=1;j<i;++j) C[i][j]=upm(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);
}
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n-i+1;++j)
{
int t1=mul(mul(j,n-j),mul(fac[j],C[n-i][j-1])),t2=mul(mul(i,i-1),fac[n-j-1]);
up(ans,mul(t1,t2));
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}