bzoj 4659 题解

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题目简述

给定 $A$和 $B$（多组数据）,求

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}lcm(i,j)\mu^2(gcd(i,j))$

已经帮您完成放大操作，不用划鼠标了。。。

数据

输入：
5

2 2

4 6

3 4

5 1

23333 33333
输出：
7

148

48

15

451085813
（还需要解释？自己写暴力。。。）

思路

2333纯数论题我最喜欢了！（数论是我小老婆，大老婆是芙兰朵露·斯卡雷特）
显然这题需要莫比乌斯反演（不会？去看pengym的博客或者我的博客。。。）
设 $gcd(i,j)=g$（我懒），原式
$=\sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{B}\frac{ij}{g}\mu^2(g)\\ =\sum\limits_{d=1}^{A} \sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{B}[g=d]\mu^2(d)\frac{ij}{d}\\ \text{枚举gcd(i,j),设为d。然后每次找g=d的，这个多想几次就明白了}\\ =\sum\limits_{d=1}^{A} \sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{d}\rfloor}[g=1]\mu^2(d)ijd\\ \text{这个就是把i,j换成枚举d的倍数，所以右面也换成了ijd，上限也换成了A/d和B/d}\\ =\sum\limits_{d=1}^{A} \sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{d}\rfloor}\mu^2(d)ijd\sum\limits_{q|g}\mu(q)\\ \text{这个不用解释，就是基本反演式}\\ =\sum\limits_{d=1}^{A}\sum\limits_{q=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\mu(q)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{d}\rfloor}[q|g]\mu^2(d)ijd\\ \text{这个有点思维量，不过也是基本技巧，如果理解透了莫比乌斯反演式，这个就能懂}\\ =\sum\limits_{d=1}^{A}\sum\limits_{q=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\mu(q)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{dq}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{dq}\rfloor}[1|g]\mu^2(d)ijdq^2\\ \text{这个就是把i,j换成了枚举dq的倍数，所以后面多乘一个} q^2\text{。而且1|g是废话，珂以删掉}\\ =\sum\limits_{d=1}^{A}d\mu^2(d)\sum\limits_{q=1}^{\lfloor\frac{A}{d}\rfloor}\mu(q)q^2(\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{dq}\rfloor}i)(\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{dq}\rfloor}j)\\ \text{这一步就是把一些无关的东西提到了最前面}\\ \text{其中}\\ (\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{A}{dq}\rfloor}i)和(\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{B}{dq}\rfloor}j)\\ \text{珂以用高斯求和公式(就是1加到100那个广为人知的故事)}O(1)\text{求出来}\\ \text{然后前面整除分块，卡卡能过}$
有一点注意，由于模的是 $2^{30}$，所以珂以让其自然溢出，然后&一下 $(1<<30)-1$即可。
代码：