【题解】BZOJ4806 炮

$Description$

传送门

有一个 $n * m$ 的一个棋盘，问在棋盘上面摆放炮且炮与炮之间互不攻击的方案数。

$Solution$

一看就是DP。

看到 $n, m$ 相对于状压DP的数据规模来说比较大，因此不好状压。

仔细分析，炮与炮之间发生冲突当且仅当所在的行或列上有 $3$ 个及以上的炮。

而且，只要一列上的炮数少于 $3$ 个，无论这两列摆在什么位置，这几个炮都不会相互攻击。由此，我们并不需要记录这几个炮的具体摆放位置，只要知道放有 $1$ 个或 $2$ 个炮的位置就行了，这样没有摆炮的列数也可以推出来。

因此，我们用 $d(i, j, k)$ 表示前 $i$ 行有 $j$ 列摆放了 $1$ 个炮，有 $k$ 列摆放了 $2$ 个炮。

在第 $i$ 行最多能放两个炮，因此分情况考虑写状态转移方程（状态转移计算均在取模的意义下进行）

• 不放炮

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j, k)$

• 在没炮的地方放一个

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j - 1, k) * (m - (j - 1) - k)$

• 在有一个炮的地方放一个

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j + 1, k - 1) * (j + 1)$

• 在两个没炮的地方各放一个

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j - 2, k)*C (m - (j - 2) - k, 2)$

• 在没炮的地方和一个炮的地方各放一个

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j, k - 1) * (m - j - (k - 1)) * j$

• 在两个有一个炮的地方各放一个

  $d(i, j, k) = d(i, j, k) + d(i - 1, j + 2, k - 2) * C(j + 2, 2)$

状态转移方程有点多，需要细心。

然后看一看这个状态转移方程，发现它只于之前的状态有关，我们就可以用滚动数组来优化空间。

$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 105
#define p 999983
#define calc(x) ((x) * ((x) - 1) / 2 % p)
long long d[2][MAXN][MAXN];
int main() {
    int n, m, cur = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    d[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cur ^= 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k + j <= m; k++) {
                d[cur][j][k] = d[cur ^ 1][j][k];
                if (j >= 1) d[cur][j][k] += d[cur ^ 1][j - 1][k] * (m - (j - 1) - k);
                if (k >= 1) d[cur][j][k] += d[cur ^ 1][j + 1][k - 1] * (j + 1);
                if (j >= 2) d[cur][j][k] += d[cur ^ 1][j - 2][k] * calc(m - (j - 2) - k);
                if (k >= 1) d[cur][j][k] += d[cur ^ 1][j][k - 1] * (m - j - (k - 1)) * j;
                if (k >= 2) d[cur][j][k] += d[cur ^ 1][j + 2][k - 2] * calc(j + 2);
                d[cur][j][k] %= p;
            }
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++)
        for (int j = 0; i + j <= m; j++) 
            (ans += d[cur][i][j]) %= p;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}