《算法导论》学习笔记之三：函数增长

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/shanpenghui/article/details/83857771

渐近记号

Θ记号

  对于一个给定的函数g(n)，用 $\Theta$(g(n))来表示以下函数的集合：
$\Theta(g(n))=\{ f(n)：存在正常量c_{1}、c_{2}和n_{0}，使得对所有n≥ n_{0}，有0≤c_{1}(n)≤f(n)≤c_{2}g(n) \}$

   $\Theta$(g(n))的定义要求每个成员f(n) $\in$ $\Theta$(g(n))均为渐近非负，即当n足够大时，f(n)非负。

O记号

  当只有一个渐近上界时，使用O记号。对于给定的函数g(n)，用O(g(n))（读作“大O(g(n))”）来表示以下函数的集合：
$O(g(n))=\{ f(n)：存在正常量c和n_{0}，使得对所有n≥ n_{0}，有0≤f(n)≤cg(n) \}$

$\Omega$记号

   $\Omega$记号提供了渐近下界。对于给定的函数g(n)，用 $\Omega$(g(n))（读作“大 $\Omega$(g(n))”）来表示以下函数的集合：
$\Omega(g(n))=\{ f(n)：存在正常量c和n_{0}，使得对所有n≥ n_{0}，有0≤cg(n)≤f(n) \}$

o记号

  由O记号提供的渐近上界可能是也可能不是渐近紧确的。界2n²=O(n²)是渐近紧确的，但是界2n=O(n²)却不是。我们使用o记号来表示一个非渐近紧确的上界。形式化地定义o(g(n))为以下集合：
$o(g(n))=\{ f(n)：存在正常量c>0，存在常量n_{0}>0，使得对所有n≥ n_{0}，有0≤f(n)<cg(n) \}$

  例如2n=o(n²)，但是2n²≠o(n²)。
  O记号与o记号的定义类似。主要的区别是在f(n)=O(g(n))中，界0≤f(n)≤cg(n)对某个常量c>0成立，但在f(n)=o(g(n))中，界0≤f(n)<cg(n)对所有常量c>0成立。直观上，在o记号中，当n趋于无穷时，函数f(n)相对于g(n)来说变得微不足道了，即：
$\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0$

$\omega$记号

   $\omega$记号与 $\Omega$记号的关系类似于o记号与O记号的关系。我们使用 $\omega$记号来表示一个非渐近紧确的下界。定义它的一种方式是：
$f(n)\in \omega(g(n)) 当且仅当g(n)\in o(f(n))$

  然而，我们形式化地定义定义 $\omega(g(n))$为以下集合：
$\omega(g(n))=\{ f(n)：对任意正常量c&gt;0，存在常量n_{0}&gt;0，使得对所有n≥ n_{0}，有0≤cg(n)&lt;f(n) \}$
  假如：n²/2= $\omega(n)$，但是n²/2≠ $\omega(n)$。关系f(n)= $\omega(g(n))$蕴涵着
$\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=\infty$

  也就是说，如果这个极限存在，那么当n区域无穷大时，f（n）相对于g（n）来说变得任意大了。