【算法】扩展卢卡斯详解

前置芝士

扩展卢卡斯相对较为复杂，需要较多的前置芝士。

快速幂
质因数分解
组合数公式
扩展欧几里得(exgcd)求逆元
中国剩余定理（或excrt）
~~熟练阅读Latex~~

至于卢卡斯定理，那真的不重要。

问题形式

卢卡斯( $Lucas$ )和扩展卢卡斯( $exLucas$ )都用于求解形如 $C_{n}^{m} \mod p$ 的答案。当 $p$ 是质数时，直接用卢卡斯定理就可以*过去。

如果 $p$ 不是质数，就得用今天的主角——扩展卢卡斯定理求解。

求解思想

由于 $p$ 不是质数，那么我们考虑强行对其进行质因数分解：
$p=\prod_{i=1}^{n}p_i^{a_i}$
那么分解完后每一项 $p_i^{a_i}$ 之间两两互质，只要我们能得出每组 $C_n^m \mod p_i^{a_i}$ 的答案，就可以用中国剩余定理合并得到最后的答案。

然后来考虑求解 $C_n^m \mod p_i^{a_i}$ ，我们知道 $C_n^{m}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$ ，那么我们也就是要求下面这个式子：
$\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\mod p^{a}$
那么显然我们要求出阶乘和阶乘的逆元。由于阶乘与模数当前不互质，所以极有可能不存在直接的逆元，需要我们对式子进行进一步的拆分。

我们从 $n!$ 中把 $p$ 的倍数全部提出，原式就会变成这样一个式子：
$n!=p^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\times \lfloor\frac{n}{p}\rfloor!\times \prod_{p \nmid i}^{n}i$
式子中的 $p^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}$ 可以直接快速幂求出， $\lfloor \frac{n}{p} \rfloor !$ 考虑递归求解，唯一比较麻烦的是后面剩下的不能被 $p$ 整除的数。

仔细观察~~（去你丫的）~~可以发现，剩下这些项的乘积有循环节，长度小于 $p^a$ 。由于显然 $x \equiv x+p^a \pmod {p^a}$ ，所以可以求出共有几个循环节，对第一个循环节暴力求一遍，然后用快速幂搞定。对于最后剩余的不能构成完整循环节的几项，依然是暴力求一遍搞定。

举个经典的例子： $n=19$ ， $p=3$ ， $a=2$
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ n! &= 1*2*3*4*…$
于是我们对括号内的求一遍，然后快速幂，接着暴力求未能构成循环节的 $19$ ，最后递归求解 $6!$ 。

由于 $3^6$ 次这一项比较特殊，因为存在这一项，所以才可能不存在逆元，所以求阶乘的时候我们不对其进行计算，而在求组合数的时候单独处理。也就是说，我们求的阶乘，实际上是去掉了所有因子 $p$ 后的阶乘。

这一部分的代码：

为了方便，我们会把 $p^a$ 当做参数传入到 $fac$ 函数中，即代码中的 $k$ 。

ll fac(ll n, ll p, ll k) {      //n! % k (k=p^a)
    if(!n) return 1;		//0! = 1
    ll ans = 1;
    for(int i = 2; i <= k; i++) {		//处理循环节内的数字
        if(i%p) ans = ans*i % k;
    }
    ans = qpow(ans, n/k, k);		//所有循环节的乘积
    for(int i = 2; i <= n%k; i++) {		//剩下单独的项
        if(i%p) ans = ans*i % k;
    }
    return ans*fac(n/p, p, k)%k;		//递归求解
}

再回到求解组合数的过程。

上面说到，要在求组合数时单独处理形如 $p^x$ 的项，那么具体的操作就是：我们用一个 $cnt$ 变量记录最后的式子中有多少个因子 $p$ ，那么 $cnt$ 就等于 $n$ 的阶乘中含有因子 $p$ 的数量减去 $m$ 和 $n-m$ 的阶乘中含有的 $p$ 的数量。

求法就是不断枚举范围内有多少个 $p^x$ 的倍数（小学基本功）。

//记得开long long，n很大，直接把int炸飞
for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;;

然后答案就是 $n!*inv(m!)*inv((n-m)!)*p^{cnt}$ 。

这一段的代码：

ll C(ll n, ll m, ll p, ll k){	//k = p^a
   	if(n < m) return 0;
	ll a = fac(n,p,k), b = fac(m,p,k), c = fac(n-m,p,k);
	ll cnt = 0;
	for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
	for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
	for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;
	return a*inv(b, k)%k * inv(c, k)%k * qpow(p, cnt, k)%k;
}

接下来就到了正式的 $exLucas$ 部分。

首先我们把给定的模数 $p$ 进行质因数分解。

然后对于每个 $p_i^{a_i}$ ，都求一遍组合数 $C_n^m \mod p_i^{a_i}$ ，然后同时用 $crt$ 合并。

先放 $crt$ 代码：

ll crt(ll n, ll mod){
	return n*(p/mod)%p*inv(p/mod, mod)%p;
}

$p$ 是给定的模数，就相当于 $crt$ 中所有模数的乘积， $mod$ 是当前的质因数分解出来的模数，就相当于单个方程的模数。

整段 $exLucas$ 代码：

ll exlucas(){
	ll t = p, ans = 0;
	for(ll i = 2; i*i <= t; i++){	//质因数分解
		if(t%i) continue;
		ll tmp = 1;
		while(t%i == 0){		//求出pi^ai
			tmp *= i;
			t /= i;
		}
		ans = (ans+crt(C(n, m, i, tmp), tmp))%p;	//crt合并
	}
	if(t > 1) ans = (ans+crt(C(n, m, t, t), t))%p;	//如果剩下的t是大质数，再进行一次计算
	return ans%p;
}

完整代码

洛谷P4720 【模板】扩展卢卡斯

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll n, m, p;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	if(!b){
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll res = exgcd(b, a%b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t-a/b*y;
	return res;
}

ll qpow(ll a, ll n, ll mod){
	ll res = 1;
	while(n){
		if(n&1) res = (res*a) % mod;
		a = (a*a) % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

ll inv(ll a, ll p){
	ll x, y;
	exgcd(a, p, x, y);
	if(x+p > p) return x;
	return x+p;
}

ll crt(ll n, ll mod){
	return n*(p/mod)%p*inv(p/mod, mod)%p;
}

ll fac(ll n, ll p, ll k){		//k = p^x
   	if(!n) return 1;
   	ll ans = 1;
	for(int i = 2; i <= k; i++){
		if(i%p) ans = ans*i % k;
	}
	ans = qpow(ans, n/k, k);
	for(int i = 2; i <= n%k; i++){
		if(i%p) ans = ans*i % k;
	}
	return ans*fac(n/p, p, k)%k;
}

ll C(ll n, ll m, ll p, ll k){	//k = p^x
   	if(n < m) return 0;
	ll a = fac(n,p,k), b = fac(m,p,k), c = fac(n-m,p,k);
	ll cnt = 0;
	for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
	for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
	for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;
	return a*inv(b, k)%k * inv(c, k)%k * qpow(p, cnt, k)%k;
}

ll exlucas(){
	ll t = p, ans = 0;
	for(ll i = 2; i*i <= t; i++){
		if(t%i) continue;
		ll tmp = 1;
		while(t%i == 0){
			tmp *= i;
			t /= i;
		}
		ans = (ans+crt(C(n, m, i, tmp), tmp))%p;
	}
	if(t > 1) ans = (ans+crt(C(n, m, t, t), t))%p;
	return ans%p;
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> p;
	cout << exlucas() << endl;
	
	return 0;
}