卢卡斯定理和扩展卢卡斯定理 学习笔记 数论 + bzoj3283运算器

卢卡斯定理：

$$C_n^m=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$
其中 $p$是质数
证明没有去搜，想了解请自行搜索吧。我觉得式子不难记，所以当个结论记就好了。复杂度我也没仔细考虑过，但是据说可以做模数是 $1e5$级别的问题。

扩展卢卡斯定理
若$p$不是质数怎么办呢？
这时候就需要扩展卢卡斯定理了。
我们对$p$进行质因数分解，令$p=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}...p_n^{k_n}$
那么我们如果能求出$C_n^m$对于每一个$p_i^{k_i}$的结果，由于每一个$p_i^{k_i}$都是同一质因子的若干次方，所以不同质因子的若干次方仍然是互质的，那么我们可以用中国剩余定理对方程组合并来得到最终的结果。
那么我们考虑如何求出$C_n^m$对于每一个$p_i^{k_i}$。
我们知道，$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，那么我们需要求出$n!\%p_i^{k_i}$、$m!\%p_i^{k_i}$和$(n-m)!\%p_i^{k_i}$，然后再利用逆元即可。
对于$n!\%p_i^{k_i}$，我们把$n!$拆开分解成三个部分，第一部分是所有不含因子$p_i$的数的乘积，我们发现这个是每$p_i^{k_i}$个数取模后的结果相同，也就是有循环节的，那么我们算出前$p_i^{k_i}$个数中没有被提出因子$p_i$的数在模$p_i^{k_i}$意义下的乘积记为$x$，这个乘积要算$\lfloor\frac{n}{p_i^{k_i}}\rfloor$次，那么之后用快速幂求出$x^{\lfloor\frac{n}{p_i^{k_i}}\rfloor}$，然后最后剩余的一点零散的部分暴力求解即可，因为零散的部分一点不超过$p_i^{k_i}$个数。第二部分是提出了$x$个$p_i$，那么就要乘$p_i^{\ \ x}$，可以快速幂求解。第三部分是提出来一个$p_i$后的那些数，而这些数又是一个新的阶乘，可以递归下去求解。
看到网上都举了那个$n=19$，$p=3$，$k=2$的例子，我觉得还是很不错的，所以我也用一下。
对于求$19!\%3^2$，我们的操作过程如下：

$$n!=1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗17∗18∗19$$ $$=(1∗2∗∗4∗5∗∗7∗8∗∗10∗11∗13∗14∗16∗17∗19)*(3*6*9*12*15*18)$$ $$=(1∗2∗4∗5∗7∗8∗10∗11∗13∗14∗16∗17∗19)∗3^6∗(1∗2∗3∗4∗5∗6)$$
实际上我们在计算时是看整个 $C_n^m$中有多少个质因数 $p_i$，计算 $n!$中质因子 $p$的个数 $x$的公式为 $$x=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^3}\rfloor+...$$
计算完之后再分别把 $n!$， $m!$和 $(n-m)!$的剩余部分求出来即可。
模板： bzoj3283运算器
注：
上面讲的是求 $C_n^m\%p$的过程，代码写的是求 $C_m^n\%p$的过程。代码是bzoj3283运算器的代码，其中第三个部分是扩展卢卡斯定理的部分，如果想学扩展BSGS，请点击 这里。
代码有两种写法，区别在于CRT的合并上，第一种方法是用原来写CRT的写法来写，每一个式子都算好了再合并。另一种做法是因为我们最后所有的模数的乘积就是一开始给出的 $p$，所以我们可以一边求一边合并。
第一种代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t,opt;
long long p[50],a[50];//存储质因数p的t次方,a存储CRT要用的余数
map<long long,long long> mp;
long long ji;
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
inline long long inv(long long a,long long b)
{
    long long x=0,y=0;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if(!x)
    x+=b;
    return x;
}
inline long long cal(long long n,long long x,long long mod)//递归计算除了x的若干次方之外的部分(第一、第三部分) 
{
    if(!n)
    return 1;
    long long ans=1;//提出来的那些不含因子x的乘积 
    if(n/mod)//有整块的 
    {
        for(int i=1;i<=mod;++i)
        {
            if(i%x)//不含因子x
            ans=ans*i%mod;
        }
        ans=ksm(ans,n/mod,mod);//有循环节，所以乘积用快速幂计算即可 
    }
    for(int i=n/mod*mod+1;i<=n;++i)
    {
        if(i%x)
        ans=ans*i%mod;
    }
    return ans*cal(n/x,x,mod)%mod;//当前的不含因子x的乘积乘以递归下去求的剩余阶乘部分的结果  
}
//计算出对于每一个质数的若干次方取模后的结果 
inline long long exlucas(long long m,long long n,long long x,long long mod)//x是当前质数 
{
    if(n>m)
    return 0;
    int cnt=0;
    for(int i=m;i;i/=x)
    cnt+=i/x;
    for(int i=n;i;i/=x)
    cnt-=i/x;
    for(int i=m-n;i;i/=x)
    cnt-=i/x;
    long long ans=ksm(x,cnt,mod)*cal(m,x,mod)%mod*inv(cal(n,x,mod),mod)%mod*inv(cal(m-n,x,mod),mod)%mod;
    return ans*(ji/mod)%ji*inv(ji/mod,mod)%ji;//CRT合并！ 
}
inline long long gcd(long long x,long long y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1)
        {
            long long x,y,p;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&p);
            printf("%lld\n",ksm(x,y,p));
        }
        else if(opt==2)
        {
            mp.clear();
            long long aa,b,p;
            int pd=0;
            scanf("%lld%lld%lld",&aa,&b,&p);
            if(b==1)
            {
                printf("0\n");
                pd=1;
            }
            if(pd==1)
            continue;
            long long d=gcd(aa,p),t=1,k=0;
            while(d!=1)
            {
                if(b%d)
                {
                    printf("Math Error\n");
                    pd=1;
                    break;
                }
                ++k;
                b/=d;
                p/=d;
                t=(t*(aa/d))%p;
                if(b==t)
                {
                    printf("%lld\n",k);
                    pd=1;
                    break;
                }
                d=gcd(aa,p);                
            }
            if(pd==1)
            continue;
            long long m=ceil(sqrt(p)),ans;
            for(int j=0;j<=m;++j)
            {
                if(j==0)
                {
                    ans=b%p;
                    mp[ans]=j;
                    continue;
                }
                ans=(ans*aa)%p;
                mp[ans]=j;
            }
            long long x=ksm(aa,m,p);
            ans=t;
            for(int i=1;i<=m;++i)
            {
                ans=(ans*x)%p;
                if(mp[ans])
                {
                    x=i*m-mp[ans];
                    printf("%lld\n",x+k);
                    pd=1;
                    break;
                }
            }
            if(!pd)
            printf("Math Error\n");
        }
        else 
        {
            long long x,y,mod;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&mod);
            ji=mod;//mod就是CRT的那个因子乘积和！ 
            if(mod==1)
            {
                printf("0\n");
                continue;
            }
            memset(p,0,sizeof(p));
            memset(a,0,sizeof(a));
            int cnt=0;//记录质数个数 
            for(int i=2;i*i<=mod;++i)
            {
                if(mod%i==0)
                {
                    p[++cnt]=1;
                    while(mod%i==0)
                    {
                        p[cnt]*=i;
                        mod/=i;//把当前因子除掉对看是否是后面数的倍数无影响 
                    }
                    a[cnt]=exlucas(y,x,i,p[cnt]);                   
                }
            } 
            if(mod>1)
            {
                p[++cnt]=mod;
                a[cnt]=exlucas(y,x,mod,mod);
            }
            long long res=0;
            for(int i=1;i<=cnt;++i)
            res=(res+a[i])%ji;
            printf("%lld\n",res);
        }
    }
    return 0;
}

第二种写法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t,opt;
long long p[50],a[50];//存储质因数p的t次方,a存储CRT要用的余数
map<long long,long long> mp;
long long ji;
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
inline long long inv(long long a,long long b)
{
    long long x=0,y=0;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if(!x)
    x+=b;
    return x;
}
inline long long cal(long long n,long long x,long long mod)//递归计算除了x的若干次方之外的部分 
{
    if(!n)
    return 1;
    long long ans=1;//提出来的那些不含因子x的乘积 
    if(n/mod)//有整块的 
    {
        for(int i=1;i<=mod;++i)
        {
            if(i%x)//不含因子x
            ans=ans*i%mod;
        }
        ans=ksm(ans,n/mod,mod);//有循环节，所以乘积用快速幂计算即可 
    }
    for(int i=n/mod*mod+1;i<=n;++i)
    {
        if(i%x)
        ans=ans*i%mod;
    }
    return ans*cal(n/x,x,mod)%mod;//当前的不含因子x的乘积乘以递归下去求的剩余阶乘部分的结果  
}
//计算出对于每一个质数的若干次方取模后的结果 
inline long long exlucas(long long m,long long n,long long x,long long mod)//x是当前质数 
{
    if(n>m)
    return 0;
    int cnt=0;
    for(int i=m;i;i/=x)
    cnt+=i/x;
    for(int i=n;i;i/=x)
    cnt-=i/x;
    for(int i=m-n;i;i/=x)
    cnt-=i/x;
    long long ans=ksm(x,cnt,mod)*cal(m,x,mod)%mod*inv(cal(n,x,mod),mod)%mod*inv(cal(m-n,x,mod),mod)%mod;
    return ans*(ji/mod)%ji*inv(ji/mod,mod)%ji;//CRT合并！ 
}
inline long long crt(int n)//CRT合并刚才得出的余数
{
    long long m=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    m*=p[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        long long x=0,y=0;
        exgcd(m/p[i],p[i],x,y);
        x=(x%p[i]+p[i])%p[i];
        if(!x)
        x+=p[i];
        ans=(ans+a[i]*(m/p[i])*x%ji)%ji;
        if(!ans)
        ans+=ji;
    }
    return ans;
} 
inline long long gcd(long long x,long long y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1)
        {
            long long x,y,p;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&p);
            printf("%lld\n",ksm(x,y,p));
        }
        else if(opt==2)
        {
            mp.clear();
            long long aa,b,p;
            int pd=0;
            scanf("%lld%lld%lld",&aa,&b,&p);
            if(b==1)
            {
                printf("0\n");
                pd=1;
            }
            if(pd==1)
            continue;
            long long d=gcd(aa,p),t=1,k=0;
            while(d!=1)
            {
                if(b%d)
                {
                    printf("Math Error\n");
                    pd=1;
                    break;
                }
                ++k;
                b/=d;
                p/=d;
                t=(t*(aa/d))%p;
                if(b==t)
                {
                    printf("%lld\n",k);
                    pd=1;
                    break;
                }
                d=gcd(aa,p);                
            }
            if(pd==1)
            continue;
            long long m=ceil(sqrt(p)),ans;
            for(int j=0;j<=m;++j)
            {
                if(j==0)
                {
                    ans=b%p;
                    mp[ans]=j;
                    continue;
                }
                ans=(ans*aa)%p;
                mp[ans]=j;
            }
            long long x=ksm(aa,m,p);
            ans=t;
            for(int i=1;i<=m;++i)
            {
                ans=(ans*x)%p;
                if(mp[ans])
                {
                    x=i*m-mp[ans];
                    printf("%lld\n",x+k);
                    pd=1;
                    break;
                }
            }
            if(!pd)
            printf("Math Error\n");
        }
        else 
        {
            long long x,y,mod;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&mod);
            ji=mod;//mod就是CRT的那个因子乘积和！ 
            if(mod==1)
            {
                printf("0\n");
                continue;
            }
            memset(p,0,sizeof(p));
            memset(a,0,sizeof(a));
            int cnt=0;//记录质数个数 
            for(int i=2;i*i<=mod;++i)
            {
                if(mod%i==0)
                {
                    p[++cnt]=1;
                    while(mod%i==0)
                    {
                        p[cnt]*=i;
                        mod/=i;//把当前因子除掉对看是否是后面数的倍数无影响 
                    }
                    a[cnt]=exlucas(y,x,i,p[cnt]);                   
                }
            } 
            if(mod>1)
            {
                p[++cnt]=mod;
                a[cnt]=exlucas(y,x,mod,mod);
            }
            printf("%lld\n",crt(cnt));
        }
    }
    return 0;
}