本人由于水平有限，笔记难免有疏漏与不严谨的地方，请大家给予批评指正，谢谢！
对不起各位，我的信息笔记——动态规划之基础（4）------最长上升子序列续集并没有保存，所以这里并没有上传。不过，我会重新上传的，谢谢大家！！
一、0-1背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
主体思路就在0-1中了，我们先不考虑这些。
分析一下：
由于每一种背包只有一个，所以我们无论是从头开始，还是从尾部开始考虑这个问题结果都一样。
那么，我们开始分析这个问题。对于一个背包，我们只有两种选择（0-1）：选（1）还是不选（0）。
如果我们选了这一个背包，那么我们的总价值就是我们现有的价值加上这个背包的价值，但同时，我们的空间就会少一个这个背包的空间；如果不选，我们和以前一样。
举个例子来说：现在你的背包容量还剩5，现有的价值为1，这里有一个背包需占3个单位的容量，价值是6。
如果我们选择了这个背包，我们剩余容量为2，我们总价值是7；不选，我们还是和以前一样。
那如果剩余容量小于背包的空间，怎么办？
直接跳过，不去选择这个背包。
好，我们定义状态：
每一种背包只有一个，这就意味着我们必须要有顺序的构建状态，或者说，是把顺序当作状态的一种要素，定义状态。
假设我们定义d(i)为看这个背包及以前的背包所得最优的价值，那么d(i)又等于什么呢？不知道。换句话说，定义的状态不好，导致转移困难。
那么好像我们的状态定义的有问题，缺了某点要素。
我们再回想一下：如果我们选了这一个背包，那么我们的总价值就是我们现有的价值加上这个背包的价值，但同时，我们的空间就会少一个这个背包的空间。
我们的状态中缺少的是剩余容量这一要素。
好，我们定义d（i，j）为第i个背包在容量为j时所装的最优价值。
如果选了这个背包，那么所得价值： d（i-1，j-w（i））+c（i）；
如果不选，那么所得价值就是上一个所得的价值： d（i-1，j）；
所以，两者较大的一个为我们的最优解：d（i，j）=max{ d（i-1，j），d（i-1，j-w（i））+c（i）}；
于是，仿照最优三角路线，我们可以得出递归代码：
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int max(int a,int b){return b>a?b:a;} int w[110]= {},c[110]={},dp[110][1010]= {}; int bf(int t,int m) { if(m==0)return 0; if(dp[m][t]>0)return dp[m][t]; return dp[m][t]=w[m]<=t?max(bf(t,m-1),c[m]+bf(t-w[m],m-1)):bf(t,m-1); } int main() { int m,t; cin>>t>>m; for(int i=1; i<=m; i++)cin>>w[i]>>c[i]; cout<<bf(t,m)<<endl; return 0; }
关于递推，我在开始接触的时候始终不明白，为什么一定要像填一个表一样for循环。
为了解决这个疑惑，我们设有n个背包，背包容量是m。
那么，d（n，m）就是我们想要的答案。
d（n，m）依靠着比较d（n-1，m）和d（n-1，m-w(i)）+c(i)；
而它们两个状态，依赖于更前面得出的状态。
所以得到d（n，m）相对于得到将前面所有的状态。
所以用填表法可以解决。
如果不明白的自己列一个表，看看。
所以递推代码就很好解决了（细节多，要注意）。
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int w[100+10]= {},c[100+10]= {},d[100+10][2000]; int max(int a,int b){return a>b?a:b;} int main() { int t,m; cin>>t>>m; for(int i=1; i<=m; i++)cin>>w[i]>>c[i]; for(int i=1; i<=m; i++) for(int j=0; j<=t; j++) { d[i][j]=(i==1?0:d[i-1][j]); if(w[i]<=j)d[i][j]=max(d[i][j],c[i]+d[i-1][j-w[i]]); } cout<<d[m][t]<<endl; return 0; }
就到这里。