D. Makoto and a Blackboard（dp 质因子分解）

原题： http://codeforces.com/problemset/problem/1097/D

题意： 有一个1e15内的数，每次会随机变成一个它的因子，问k次变化后的结果的期望。

解析：

对于一个数 $n$，可以看成质因子幂的形式，设它的一个质因子 $p$，有 $p^q$，那么显然下一次变化 $p^q$有等概率变成 $p^q,p^{q-1},p^{q-2}..,p^0$，那么这个东西是很好维护的。所以只需要将这个数质因子分解出来，对于每个质因子做 $k$次即可。

化一下也可以证明 $a/b+c/d=ab^{-1}+cd^{-1}$，当然逆元在乘除方面是一定化解可行的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define debug(i) printf("->%d\n",i)
LL n,k;
const LL maxn=4e7;
const LL maxm=25e5;
const LL mod = 1e9+7;

vector<LL>num;
vector<LL>dp[maxm];

bool vis[maxn];
LL pri[maxm],cnt;
LL inv[maxm];
void init(){
    //逆元
    inv[1]=1;
    for(LL i=2;i<maxm;i++){
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    //素数
    for(LL i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(LL j=1;j<=cnt&&pri[j]*(LL)i<maxn;j++){
            vis[pri[j]*(LL)i]=1;
            if(!(i%pri[j]))break;
        }
    }
    //处理
    LL en=(LL)(sqrt((double)n))+1ll;
    for(LL i=1;i<=cnt&&pri[i]<=min(n,en);i++){
        LL ct=0;
        while(n%pri[i]==0){
            ct++;n/=pri[i];
        }
        if(ct){
            num.push_back(pri[i]);
            while(ct--){
                dp[num.size()-1].push_back(0);
            }
            dp[num.size()-1].push_back(1);
        }
    }
    if(n>1){
        num.push_back(n);
        dp[num.size()-1].push_back(0);
        dp[num.size()-1].push_back(1);
    }
}
LL i,j,siz;
LL sum,p;
LL ans=1;
void solve(){
    for(i=0;i<num.size();i++){
        for(j=1;j<=k;j++){
            sum=0;
            for(siz=dp[i].size()-1;siz>=0;siz--){
                sum=(sum+dp[i][siz]*inv[siz+1])%mod;
                dp[i][siz]=sum;
            }
        }
        p=0;
        sum=1;
        for(siz=0;siz<dp[i].size();siz++){
            p=(p+sum*dp[i][siz])%mod;
            sum=sum*num[i]%mod;
        }
        ans=ans*p%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    init();
    solve();
}