CF1097D Makoto and a Blackboard 质因数分解 DP

Hello 2019 D

题意：

　　给定一个n，每次随机把n换成它的因数，问经过k次操作，最终的结果的期望。

思路：

　　一个数可以表示为质数的幂次的积。所以对于这个数，我们可以分别讨论他的质因子的情况。

　　假设质因子x的指数是j，那么这个质因子下一步可以变到的情况就有（j+1）种可能，利用概率DP算出k步操作后每个x的不同幂次的概率，然后求出期望。

　　把每个质因子的情况算出来的期望乘起来即可。

　　

#include <algorithm>
#include  <iterator>
#include  <iostream>
#include   <cstring>
#include   <cstdlib>
#include   <iomanip>
#include    <bitset>
#include    <cctype>
#include    <cstdio>
#include    <string>
#include    <vector>
#include     <stack>
#include     <cmath>
#include     <queue>
#include      <list>
#include       <map>
#include       <set>
#include   <cassert>

using namespace std;
#define lson (l , mid , rt << 1)
#define rson (mid + 1 , r , rt << 1 | 1)
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
#define pb push_back
#define pq priority_queue
 
 

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef __int128 bll;
typedef pair<ll ,ll > pll;
typedef pair<int ,int > pii;
typedef pair<int,pii> p3;
 
//priority_queue<int> q;//这是一个大根堆q
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//这是一个小根堆q
#define fi first
#define se second
//#define endl '\n'
 
#define OKC ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
#define FT(A,B,C) for(int A=B;A <= C;++A)  //用来压行
#define REP(i , j , k)  for(int i = j ; i <  k ; ++i)
#define max3(a,b,c) max(max(a,b), c);
#define min3(a,b,c) min(min(a,b), c);
//priority_queue<int ,vector<int>, greater<int> >que;
 
const ll mos = 0x7FFFFFFF;  //2147483647
const ll nmos = 0x80000000;  //-2147483648
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; //18
const int mod = 1e9+7;
const double esp = 1e-8;
const double PI=acos(-1.0);
const double PHI=0.61803399;    //黄金分割点
const double tPHI=0.38196601;
 
 
template<typename T>
inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x=f?-x:x;
} 
/*-----------------------showtime----------------------*/
            const int maxn = 1e4+9;
            ll dp[maxn][105],inv[102];
            ll n; int k;


            ll cal(ll a,int n){
                memset(dp, 0, sizeof(dp));
                dp[0][n] = 1;

                for(int i=0; i<k; i++){
                    for(int j=0; j<=n; j++){
                        for(int t=0; t<=j; t++){
                            dp[i+1][t] =(dp[i+1][t] + dp[i][j] * inv[j+1]%mod)%mod;
                        }
                    }
                }
                
                ll d = 1,sum = 0;
                for(int i=0; i<=n; i++){
                    sum = (sum + d * dp[k][i])%mod;
                    d = d * a % mod;
                }

                return sum;
            }
            
int main(){
            cin>>n>>k;
            ll ans = 1;
            inv[1] = 1;
            for(int i=2; i<=100; i++){
                inv[i] = (mod - mod/i)*inv[mod%i]%mod;
            }

            for(ll i=2; i*i<=n; i++){
                if(n%i==0){
                    int cnt = 0;
                    while(n%i==0) n/=i,cnt++;
                    ans = ans * cal(i, cnt)%mod;
                }
            }   
            if(n>1) ans = ans * cal(n, 1)%mod;
            cout<<ans<<endl;
            return 0;
}

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