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Loss function 损失函数	description 描述	Scenes 使用问题
MAE	Mean Absolute Error $L(\hat y, y)= \frac 1 n\sum_i^n{ \vert y_i - \hat {y_i} \vert}$	Regression
MSE	Mean Squared Error $L(\hat y, y)= \frac 1 n\sum_i^n{ (y_i - \hat {y_i})^2}$	Regression
Entropy Loss	$L(\hat y, y)= - \frac 1 n \sum_i^n({ y_i\ln \hat {y_i}} + (1-y_i)\ln {(1-\hat{y_i})})$	classification
Hinge Loss	$Loss = \sum_{j \neq y_i} \max (0, s_j - s_{y_i} + 1)$	classification

Cross Entropy Loss

交叉熵损失函数，完整形式为 $L(\hat y, y)= - \frac 1 n \sum_i({ y_i\ln \hat {y_i}} + (1-y_i)\ln {(1-\hat{y_i})})$ . 当真实 label 的值 $y_i = 0$ 的情况下，前半部分消失，当 $y_i = 1$ 的情况下，后半部分消失。

Cross Entropy Loss 有两个特性:

非负性。我们的目标是最小化 L, 也就是逼近 0
当网络输出 $\hat y$ 与事实label $y$ 很接近的时候，即准确性很高的时候，L 的值都接近 0. 非常理想的情况。

这两个特性也是我们设计 Cross Entropy Loss 的初衷。

再看BP 中的导数计算，已知
$\hat y = \delta(z), z = \sum_i \omega_i x_i + b$
对于单个神经元而言， $L(\hat y,y) = -(y\ln \hat y + (1-y) \ln (1-\hat y))$

(TODO: 待补充，with Andrew Ng)

Hinge Loss

hinge loss 常用于最大间隔分类（maximum-margin classification），最常用的是SVM。
基本思路是：在一定的安全间隔内（通常是 1），正确类别的分数应高于所有错误类别的分数之和。
Hinge Loss不可微，但它是一个凸函数，因此可以轻而易举地使用机器学习领域中常用的凸优化器。

$Loss = \sum_{j \neq y_i} \max (0, s_j - s_{y_i} + 1)$

举例：
以下是分类器在三个样本（Image #1,#2, #3）上对于三个类别(Dog/Cat/Horse)预测的结果，哪个好，哪个坏呢？通过 Hinge Loss 计算一哈
在这里插入图片描述

## 1st training example
max(0, (1.49) - (-0.39) + 1) + max(0, (4.21) - (-0.39) + 1)
max(0, 2.88) + max(0, 5.6)
2.88 + 5.6
8.48 (High loss as very wrong prediction)
## 2nd training example
max(0, (-4.61) - (3.28)+ 1) + max(0, (1.46) - (3.28)+ 1)
max(0, -6.89) + max(0, -0.82)
0 + 0
0 (Zero loss as correct prediction)
## 3rd training example
max(0, (1.03) - (-2.27)+ 1) + max(0, (-2.37) - (-2.27)+ 1)
max(0, 4.3) + max(0, 0.9)
4.3 + 0.9
5.2 (High loss as very wrong prediction)

Ref

机器学习中常用的损失函数你知多少？
交叉熵代价函数：说的很详细

【ML】常用损失函数

Cross Entropy Loss

Hinge Loss

Ref

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