条件概率:P(A∣B)=P(B)P(AB)全概率公式:P(B)=i=1∑∞P(AiB)=i=1∑∞P(Ai)P(B∣Ai)简化版的全概率公式:P(B)=P(AB)+P(AˉB)=P(A)P(B∣A)+P(Aˉ)P(B∣Aˉ) 【例】:人患癌症的概率为1/1000.假设有一台癌症诊断仪S1,通过对它以往的诊断记录的分析,如果患者确实患有癌症它的确诊率为90%,如果患者没有癌症,被诊断成癌症的概率是10%。某人在被诊断为癌症后,他真正患癌症的概率是多少? 【解】:把该人被诊断为癌症记为事件X,没有被诊断为癌症记为事件Xˉ,在自然人群中患有癌症记为事件Y,没有患癌症记为事件Yˉ。依题意得P(X∣Y)=90%P(X∣Yˉ)=10%P(Y)=1/1000P(Yˉ)=999/1000则P(X)=P(Y)P(X∣Y)+P(Yˉ)P(X∣Yˉ)=100.8/1000P(Y∣X)=P(X)P(XY)=P(X)P(Y)P(X∣Y)=1/112 【例】H同学每天乘公交上学,早上睡过头或遇到堵车都会迟到;H早上睡过头的概率为0.2,路上遇到堵车的概率为0.5;若某天早上H迟到了,那么以下推测正确的有()。 a) 今天H早上睡过头了的概率大于0.2 b) 今天H早上遇到堵车的概率小于0.5 【解】:a。 记X表示睡过头,Y表示遇到堵车,Z表示迟到P(Z)=1−P(XˉYˉ)=1−P(Xˉ)P(Yˉ)=1−0.4=0.6P(X∣Z)=P(Z)P(XZ)=P(Z)P(Z∣X)P(X)=0.60.2P(Y∣Z)=P(Z)P(YZ)=P(Z)P(Z∣Y)P(X)=0.60.5
概率的加法公式及推论
概率的加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)推论1:P(A∪B)≤P(A)+P(B)推论2:P(AB)≥P(A)+P(B)−1 【例】:若AB为任意两个随机事件,则() a) P(AB)>=(P(A)+P(B))/2 b) P(AB)<=P(A)P(B) c) P(AB)<=(P(A)+P(B))/2 d) P(AB)>=P(A)P(B) 【解】c。 由P(AB)定义可知:P(AB)<=P(A),P(AB)<=P(B);相加,除以2得c。 关于b,当A和B是包含关系时错误。 关于d,当A和B互斥时P(AB)=0,P(A)P(B)>=0