题目链接
\(Describe\)
有一场舞会,n个男生,n个女生,要组成n对舞伴,男生i和女生j组队的适合度是\(a_{ij}\),
不适合度是\(b_{ij}\),
让你求\(max(\sum(适合度)/\sum(不适合度))\)
\(Solution\)
这道题是\(01\)分数规划的好题目。我们首先拆分这个式子:
令\(A_i\)为舞伴的适合度,\(B_i\)为不适合度
\[C=\sum_{i=1}^{i<=n}a_i/\sum_{i=1}^{i<=n}b_i\]
\[\sum_{i=1}^{i<=n}a_i=\sum_{i=1}^{i<=n}b_i*C\]
\[\sum_{i=1}^{i<=n}a_i-\sum_{i=1}^{i<=n}b_i*C=0\]
则我们可以对C二分一个数\(mid\)
\[令:ans=max(\sum_{i=1}^{i<=n}a_i-\sum_{i=1}^{i<=n}b_i*mid)\]
如果\(ans>0\)则\(ans\)比\(C\)要小,反之比\(C\)大
那么这个\(max(ans)怎么求呢？\)
这个随便用个费用流搞一搞就好了;
- 把每个人拆成\(x\)和\(x'\)
- 将\(S\)和\(x\)相连，流量为1，费用为0
- 将\(x'\)和\(T\)相连，流量为1，费用为0
- 对于两个人\(x,y\)我们将\(x\)和\(y'\)相连，流量为1，费用为\(a[x][y]-mid*b[x][y]\)(因为我的spfa是跑的最短路，所以我写的是-a[x][y]+mid*b[x][y],最后跑出来的答案的绝对值就是最大费用最大流);
- 跑一遍最大费用最大流
\(Code\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double inf=1e9+7;
typedef long long ll;
int read(){
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
struct node{
int to,next,v;
double w;
}a[1000001];
int f[10001],pre[10001],fa[10001],s,t=1000,head[10001],cnt;
double dis[10001];
void add(int x,int y,int c,double v){
a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],a[cnt].v=c,a[cnt].w=v,head[x]=cnt;
a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],a[cnt].v=0,a[cnt].w=-v,head[y]=cnt;
}
queue<int>q;
int spfa(){
q.push(s);
for(int i=s;i<=t;i++)
dis[i]=inf;
memset(f,0,sizeof(f));
f[s]=1,dis[s]=0;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
f[now]=0;
for(int i=head[now];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
if(dis[v]>dis[now]+a[i].w&&a[i].v){
dis[v]=dis[now]+a[i].w,pre[v]=i,fa[v]=now;
if(!f[v])
f[v]=1,q.push(v);
}
}
}
if(dis[t]!=inf)
return 1;
return 0;
}
double ans1,ans;
void anser(){
ans=0,ans1=0;
while(spfa()){
int minx=2147483647;
for(int i=t;i!=s;i=fa[i])
minx=min(minx,a[pre[i]].v);
ans+=minx,ans1+=dis[t]*minx;
for(int i=t;i!=s;i=fa[i])
a[pre[i]].v-=minx,(pre[i]%2)?a[pre[i]+1].v+=minx:a[pre[i]-1].v+=minx;
}
}
double A[1001][1001],B[1001][1001];
int n;
bool check(double x){
memset(head,0,sizeof(head)),cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
add(i,j+n,1,-A[i][j]+x*B[i][j]);
}
anser();
return (-ans1)>=0;
}
int main(){
n=read();
double l=0,r=10000,maxx=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>A[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>B[i][j];
while(r-l>=1e-7){
double mid=(l+r)*0.5;
if(check(mid))
l=mid,maxx=max(maxx,mid);
else r=mid;
}
printf("%0.6lf",maxx);
}