深度优先搜索算法以及应用

当处于一个巨大的迷宫中，你只有第一人称视角，应该如何以最快速度走出这个迷宫呢？

依据深度优先算法，这种策略一定有效：以当前位置为起点，沿着一条路向前走。当遇到一个岔路口时，就选择一个岔路前进，如果这个岔路是死胡同，就退回上一个岔路口；如果这个岔路又有新的岔路口，就依据之前的做法，再选择一条岔路口继续前进。

这样就出现了一个问题，当经历了众多岔路口之后，你的面前出现了死胡同，你的记忆力已经不支持你退回一开始的岔路口，那岂不是又要在迷宫里打转转了？其实解决这个问题的方法很简单，无论是选择岔路口或者是返回上一个岔路口，只要保证在走的过程中你的右手一直贴着右边的墙壁，你就一定会走出迷宫。

这种不撞南墙不回头的策略，形象地从深度上彻底挖掘了这个迷宫，因此这种搜索路径的方法被称作深度优先搜索，也称为DFS（Depth-First-Search）

以上图迷宫为例，将所有岔路口看作节点，深度优先搜索策略具体实现过程如下：

当遇见A节点，根据右手前进的策略，会依次访问B、D和H节点，此时H节点已经走到了死胡同，于是原路返回到D节点。再到I，而I也是死胡同，退回D后再到J，依然是死胡同，回到D时只能再次原路返回，退回至B节点。
从B到E后，依旧有三条岔路，按照前进策略，将分别访问K、L和M后返回E，再返回B。此时B的岔路也全部枚举完毕，只能退回A。
从A到达C后，仍然有岔路口，先访问F再访问G，最终走出迷宫

由上述过程可以看出来，深度优先搜索访问节点顺序为：ABDHIJEKLMCFG。

从数据结构的角度来看，深度优先搜索离不开一种数据结构，那就是堆栈，访问节点过程也就是入栈出栈的过程，只多了两个约束条件：①栈不空就执行出栈操作②对于每个出栈元素，必须将所有邻接点依次入栈（①的约束优先级大于②）

既然提到了堆栈，在算法上自然容易联想到递归，实际上如果使用递归，深度优先搜索的代码将简洁很多。先来看一个典型的递归例子——Fibonacci数列，数列规定：F(0)=1，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n不小于2）。每当F(n)被分为F(n-1)和F(n-2)时，就可以看做时一个岔路口的两条路，紧接着递归处理F(n-1)和F(n-2)。由此启发可以得到搜索优先搜索的递归代码：

#define MaxSize = 100;
bool visited[MaxSize];

void DFS(Graph G, int v){
    Node *p;    //工作指针
    visit(v);
    visited[v] = true;
    p = G->adjlist[v].firstarc;    //指针p指向该顶点的第一条边
    while(p != NULL){
        if(!visited[p->adjvex]){
            DFS(G, p->adjvex);
        }
        p = p->adjvex;
    }
}

void DFSGraph(Graph G){
    int i;
    for(i = 0; i < G->vexnum; i++){
        visited[i] = false;
    }
    for(i = 0; i < G->vexnum; i++){
        if(visited[i]){
            DFS(G, i);
        }
    }
}

深度优先搜索不仅仅局限于寻找路径，在实际问题上也有重要的思想启发作用，如以下的0-1背包问题，就可以利用深度优先搜索思想来解决。

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

　　对于背包中的每一个物品，都可以看作一个节点，都有“选择”和“不选择”两条“岔路”可以走，而两种选择会产生不同的背包目前价格总和、背包目前价值总和以及当前物品编号，于是DFS函数参数为：

void DFS(int price, int value, int index){...}

根据题意可以轻易得出两个约束条件，即index<N，price<V，在满足两个条件的情况下，选择index号物品放入背包继而去处理index+1号物品的写法为：

DFS(price + w[index+1], value + c[index+1], index+1);

　　不选择index号物品而直接去处理index+1号物品的写法为：

DFS(price, value, index+1);

于是整个代码如下：

#include <stdio.h>

const int maxn = 30;
int n, V, max = 0;    //物品数量n，背包容量V，最大价值max
int w[maxn], c[maxn];    //每件物品的价格价值

void DFS(int price, int value, int index){
    if(index == n) return;     
    DFS(price, value, index + 1);
    if(price + w[index] <= V){
　　　　if(value + c[index] > max) max = value + c[index];
　　　　DFS(price + w[index], value + c[index], index + 1);
　　}
} 

int main(){
    while(scanf("%d%d", &n, &V) != EOF){
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d", &w[i]);
        }
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d", &c[i]);
        }
        DFS(0, 0, 0);
        printf("%d", max);
    }
    return 0;
}

深度优先搜索算法以及应用

猜你喜欢