组合数
从n个物品中选m个，那么就有\(\frac{n!}{m!(n-m)!}\)种选法，即为\(C^m_n\)或\(\left(\begin {matrix} n \\ m\end {matrix}\right)\)
有几个公式：
\[C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\]
\[\sum_iC_n^i=2^n\]
二项式定理：\((x+y)^n=\sum_iC_n^ix^iy^{n-i}\)
\[\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=[n=0]\]
二项式反演: \[f_i=\sum_jC_i^jg_j\Leftrightarrow g_i=\sum_j(-1)^{n-j}C_i^nf_j\]
容斥
简单来说，就是要求\[|U\cap \bar A_1\cap \bar A_2\cap \cdots \cap \bar A_k|\]
这个东西就等于\[\sum_{S\subseteq A}(-1)^{|S|}|U\cap S_1\cap S_2\cap \cdots\cap S_{|S|}|\]
min-max容斥 ：
有两个显然结论：
\(min\{max\{a,b\},c\}=max\{min\{a,c\},min\{b,c\}\}\)
\(max\{a,b\}=a+b-min\{a,b\}\)
然后就有\[max_{i=1}^n\{a_i\}=\sum_{T\subseteq A}(-1)^{|T|+1}min\{T\}\]
卡特兰数
卡特兰数\(C_n=\sum_{i=0}C_iC_{n-i-1}\)，\(C_0=C_1=1\)。
还有一个递推式\(C_n=C_{n-1}(4n-2)/(n+1)\)。
\(C_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}\)。
还有一个很像的数列是\(F_n=F_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-1}F_iF_{n-i-1}\)
他的递推式是\(F_n(n+1)=(6n-3)F_{n-1}-(n-2)F_{n-2}\)
斯特林数
第二类斯特林数
把n个物品放到m个无序集合且不允许集合为空的方案数为第二类斯特林数，记为\(S(n,m)\)或\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)。
递推式：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)\)考虑定义，就是枚举下一个物品单独为一个集合或和其他的元素同在一个集合(或是否是这个集合的最后一个元素)。
容斥式子：\(S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_k(-1)^kC_m^k(m-k)^n\)
其意义就是枚举空的集合的数量，因为集合是无序的，所以要除以\(m!\)。
如果把\(\frac{1}{m!}\)乘进去，可以得到\(S(n,m)=\sum_k\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}\)，这样就可以直接卷积。
性质： \[n^k=\sum_{i=0}^kS(k,i)\cdot i!\cdot C_n^i\]
左边就是把k个物品放到n个集合里，右边就是枚举放到哪几个集合里。
第一类斯特林数
第一类斯特林数就是把n个物品划分为m个圆排列的方案数，记为\(s(n,m)\)或\(\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]\)。
递推式：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)s(n-1,m)\)。因为这个是圆排列，所以每一个元素有n-1中插法。
还有有符号的第一类斯特林数，记为\(s_s(n,m)=(-1)^{n+m}s_u(n,m)\)。
\(s(n,m)\)的生成函数是\(\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)\)，\(s_s(n,m)\)的生成函数是\(\prod_{i=0}^{n-1}(x-i)\)。
一些性质(不带下表默认为无符号):
- \(x^{\underline{n}}=\sum_is_s(n,i)x^i,x^{\overline{n}}=\sum_is(n,i)x^i\)
- \(\sum_is(n,i)=n!\)
- \(\sum_is_u(n,i)=[n=0]\)
斯特林反演
\[f_i=\sum_jS(i,j)g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_j(-1)^{n-j}s(i,j)f_j\]