bzoj 3994 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演

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解法

其实很久之前就想写这道题了……

• 首先我们先考虑一下 $d(ij)$怎么处理。
• 有一个结论： $d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]$，具体证明可以看popoqqq大爷的证明：链接。
• 然后我们就可以把式子写成这样： $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]$
• 感觉后面的整除并不是那么方便，不妨把 $x,y$提前到前面枚举，就变成： $\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor[gcd(x,y)==1]$
• 然后就变成比较熟悉的式子了，反演一下可以得到 $\sum_d\mu(d)(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{id}\rfloor)(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{m}{jd}\rfloor)$
• 有一个比较简单的结论： $\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}{y}\rfloor=\lfloor\frac{n}{xy}\rfloor$，那么我们就可以令 $n'=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,m'=\lfloor\frac{m}{d}\rfloor$。然后式子就变成 $\sum_d\mu(d)(\sum_{i=1}^{n'}\lfloor\frac{n'}{i}\rfloor)(\sum_{j=1}^{m'}\lfloor\frac{m'}{j}\rfloor)$
• 令 $s[n]=\sum_{i=1}^nd(i)$，然后我们可以发现 $\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=s[n]$。这个式子其实也挺好证的，只要看每一个因子的贡献就可以了。
• 那么式子就变成了 $\sum_d\mu(d)s[\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]s[\lfloor\frac{m}{d}\rfloor]$。
• 那么我们发现就可以数论分块了，我们只需要预处理出 $s$数组和 $\mu$的前缀和就可以了
• 时间复杂度： $O(T\sqrt n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 50010
using namespace std;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = x > y ? x : y;}
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = x > y ? y : x;}
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
bool f[N]; int p[N];
ll d[N], mu[N];
void sieve(int n) {
	memset(f, true, sizeof(f)); int len = 0; mu[1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i; j <= n; j += i)
			d[j]++;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (f[i]) p[++len] = i, mu[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= len && i * p[j] <= n; j++) {
			int k = i * p[j]; f[k] = false;
			if (i % p[j] == 0) {mu[k] = 0; break;}
			mu[k] = -mu[i];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] += d[i - 1], mu[i] += mu[i - 1];
}
ll solve(int n, int m) {
	ll ret = 0, x = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i = x + 1) {
		x = min(n / (n / i), m / (m / i));
		ret += 1ll * d[n / i] * d[m / i] * (mu[x] - mu[i - 1]);
	}
	return ret;
}
int main() {
	sieve(5e4); int T; read(T);
	while (T--) {
		int n, m; read(n), read(m);
		if (n > m) swap(n, m);
		cout << solve(n, m) << "\n";
	}
	return 0;
}