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题目
设
d(x)为
x的约数个数,给定
n,m,求
i=1∑nj=1∑md(ij)
分析
又到了推式子的过程了
ans=i=1∑nj=1∑mx∣i∑y∣j∑[gcd(x,y)=1]
根据莫比乌斯反演,得到
ans=i=1∑nj=1∑mx∣i∑y∣j∑d∣gcd(x,y)∑μ(d)
直接枚举
d,得到
ans=i=1∑nj=1∑mx∣i∑y∣j∑d=1∑min(n,m)μ(d)∗[d∣gcd(x,y)]
把只有关
d的项移出,得到
ans=d=1∑min(n,m)μ(d)i=1∑nj=1∑mx∣i∑y∣j∑[d∣gcd(x,y)]
换一种方式,得到
ans=d=1∑min(n,m)μ(d)x=1∑ny=1∑m[d∣gcd(x,y)]⌊xn⌋⌊ym⌋
枚举
dx,dy,得到
ans=d=1∑min(n,m)μ(d)x=1∑⌊dn⌋y=1∑⌊dm⌋⌊dxn⌋⌊dym⌋
再移项,得到
ans=d=1∑min(n,m)μ(d)(x=1∑⌊dn⌋⌊dxn⌋)(y=1∑⌊dm⌋⌊dym⌋)
发现可以用整除分块和线性筛完成,于是
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=50000;
int mu[N+1],v[N+1],prime[N+1],cnt,sum[N+1];
inline signed iut(){
rr int ans=0; rr char c=getchar();
while (!isdigit(c)) c=getchar();
while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-48,c=getchar();
return ans;
}
inline void prepa(){
mu[1]=sum[1]=1;
for (rr int i=2;i<=N;++i){
if (!v[i]) mu[i]=-1,v[i]=prime[++cnt]=i;
for (rr int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;++j){
v[i*prime[j]]=prime[j];
if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
else break;
}
}
for (rr int i=2;i<=N;++i){
mu[i]+=mu[i-1];
for (rr int l=1,r;l<=i;l=r+1)
sum[i]+=((r=(i/(i/l)))-l+1)*(i/l);
}
}
inline signed min(int a,int b){return (a<b)?a:b;}
signed main(){
prepa();
rr int t=iut();
while (t--){
rr int n=iut(),m=iut();
rr int minx=min(n,m);
rr long long ans=0;
for (rr int l=1,r;l<=minx;l=r+1){
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=(mu[r]-mu[l-1])*1ll*sum[n/l]*sum[m/l];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}