算法-leetcode-每日一题-求最大子数组

分析：该题是一道经典的题，但是很多人理解不了，我在此处进行了总结，大家按我的思路看下去，肯定能理解。

使用蛮力法。最外循环为第i个数，第二循环从i开始一直到数组尾j，最内循环则计算i到j子数组的和。

public static int maxSubArray(int arr[]) {
    int n = arr.length;
    int ThisSum = 0, MaxSum = 0;
    for(int i=0; i<n; i++) {    //从0开始循环
        for(int j=i; j<n; j++) {//从当前位循环到最后一位
            ThisSum = 0;
            for(int k=i; k<j; k++) {//计算i到j的子序列和
                ThisSum += arr[k];
            }
            if(ThisSum > MaxSum) { MaxSum = ThisSum; }
        }
    }
    return MaxSum;
}

该方式重复的计算了i到j之间值，重点在于如何减少重复的计算，在最内的k循环中，可以通过Sum[I, j] = Sum[I, j-1]+arr[j]，这样就能避免重复的计算。

 public static int maxSubArray(int arr[]) {
     int size = arr.length;
     int maxSum = Integer.MAX_VALUE;
     for(int i=0; i<size; i++) {//同样还是两个循环，要计算的还是i到j序列的和
         int sum = 0;//不同的是sum是递增的，即在j++的过程中，前面的sum是不变的
         for(int j=i; j<size; j++) {
             sum += arr[j];
             if(sum > maxSum) { maxSum = sum; }//这个判断是获取子序列的关键
         }
     }
     return maxSum;
 }

注意上面两个方案的叠进顺序，和对第二个解决方案的理解。动态优化依然是减少重复的运算。在上面的算法中，只消除了固定i下j的重复计算，但当i变化时，sum的部分值依然是重复的。那如何分解问题？若已知A[1, j]的最大子数组，那A[1, j+1]的最大子数组等于求解最后一个元素arr[n-1]与最大子数组的关系：①最大子数组包含arr[n-1]，即以arr[n-1]结尾；②arr[n-1]单独构成最大子数组；③最大子数组不包含arr[n-1]。三种可能写为All[ i - 1] = max{arr[ i - 1 ], End[ i - 1 ], All[ i - 2 ]}，三个选项分为对应①②③。End[i]是包含第i值的最大子数组，All[i]是当前最大子数组。
```
 public static int maxSubArray(int arr[]) {
     int n = arr.length;
     int End[] = new int[n];//End[i]表示包含当前值的最大子数组值
     int All[] = new int[n];//All[i]表示当前全局最大子数组值
     End[0] = All[0] = arr[0];//一开始全为arr[0]
     for(int i=1; i<n; i++) {//End是个辅助数组，用于比较①② All则在比较③
         End[i] = max(End[i-1] + arr[i], arr[i]);//比较当前值是否比包含当前值的序列大
         All[i] = max(End[i], All[i-1]);//比较当前值序列是否比不包含当前值序列大
     }
     return All[n-1];
 }
```

上面每次只用到End[n-1]和All[n-1]，这样只需要定义两个变量即可。

   public static int maxSubArray4(int arr[]) {
        int n = arr.length;
        int nAll = arr[0];
        int nEnd = arr[0];
        for(int i=1; i<n; i++) {
            nEnd = max(nEnd + arr[i], arr[i]);//比较当前值是否比包含当前值的序列大
            nAll = max(nEnd, nAll);//比较当前值序列是否比不包含当前值序列大
        }
        return nAll;
    }

算法-leetcode-每日一题-求最大子数组

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