题目描述
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。
工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。
突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。
由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。
对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。
假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：
- 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
- 工厂i目前已有成品数量Pi;
- 在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
输出格式：
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
输入输出样例
输入样例#1：
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
输出样例#1：
32
说明
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。
如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
对于20%的数据， N ≤500；
对于40%的数据， N ≤10000；
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
思路：
这是一道比较难的斜率优化变形题，我们可以设dp[i]代表前i个工厂的最小费用，那么：
dp[i] = dp[j] + c[i] + [j+1, i]的所有工厂的p[k] * (x[i] - x[k])的和
我们可以设A[i]代表前i个工厂的p[i]和，B[i]代表前i个工厂的p[i]*x[i]和，那么化简上面的式子，得到：
dp[i] = dp[j] + c[i] + x[i] * (A[i] - A[j]) - (B[i] - B[j])
我们发现里边有不变量，变量以及混合值，所以这是一道典型的斜率优化问题
这时我们可以设k < j且j结果优于k，那么化简得：
dp[j] - x[i]A[j] + B[j] < dp[k] - x[i]A[k] + B[k]
移项得：
((dp[j] + B[j]) - (dp[k] + B[k])) / (A[j] - A[k]) < x[i]
我们设f[i] = dp[i] + B[i]，代入得：
(f[j] - f[k]) / (A[j] - A[k]) < x[i]
我们就得到了斜率，剩下的步骤所有题都雷同不再多说，直接上代码
代码：
/*************************************************************************
> File Name: p.cpp
> Author: Zcy
> Mail: [email protected]
> Created Time: 三 1/23 18:16:17 2019
************************************************************************/
#include <stdio.h>
#define ll long long
#define N 1000000
ll x[N + 5] = {0};
ll c[N + 5] = {0};
ll A[N + 5] = {0};
ll B[N + 5] = {0};
ll f[N + 5] = {0};
ll dp[N + 5] = {0};
int q[N + 5] = {0};
int head = 0, tail = 0;
double get(int j, int k) {
return 1.0 * (f[j] - f[k]) / (A[j] - A[k]);
}
void set(int i, int j) {
dp[i] = dp[j] + c[i] + x[i] * (A[i] - A[j]) - (B[i] - B[j]);
f[i] = dp[i] + B[i];
}
int main () {
int n, p;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lld%d%lld", &x[i], &p, &c[i]);
A[i] = A[i - 1] + p;
B[i] = B[i - 1] + p * x[i];
}
q[tail++] = 0;
q[tail++] = 1;
set(1, 0);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
while(tail - head > 1 && get(q[head + 1], q[head]) <= x[i]) {
head++;
}
set(i, q[head]);
while(tail - head > 1 && get(i, q[tail - 1]) <= get(q[tail - 1], q[tail - 2])) {
tail--;
}
q[tail++] = i;
}
printf("%lld\n", dp[n]);
return 0;
}
如果有写的不对或者不全面的地方 可通过主页的联系方式进行指正，谢谢