luogu-P2120 [ZJOI2007]仓库建设

P2120 [ZJOI2007]仓库建设
题目背景
小B的班级数学学到多项式乘法了，于是小B给大家出了个问题：用编程序来解决多项式乘法的问题。

题目描述
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
工厂i目前已有成品数量Pi;
在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入格式：
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

输出格式：
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

输入样例
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
输出样例
32
说明
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

斜率优化DP。

首先，我们思考普通的DP，定义 f[i] 表示前 i 个点，其中第 i 个点建工厂的最优解。
$f[i] = min \{ f[j] + \sum_{k=j}^{i} x[k]*(p[i]-p[k]) \}$ 其中的 $p[i]$ 为题目描述中 p 数组的前缀和。
$f[i] = min \{ f[j] + \sum_{k=j}^{i} x[k]*p[i] - \sum_{k=j}^{i} x[k]*p[k] \}$
设 $s[i] = \sum_{j=1}^i p[j]$
设 $sp[i] = \sum_{j=1}^i x[j]*p[j]$
$f[i] = min \{ f[j] +(s[i] - s[j])*p[i] - sp[i] + sp[j]\}$

OK，现在我们可以开始斜率优化了。

设选 j 比选 k 好（j > k）
$f[j] +(s[i] - s[j])*p[i] - sp[i] + sp[j] < f[k] +(s[i] - s[k])*p[i] - sp[i] + sp[k]$
$f[j] - s[j]*p[i] + sp[j] < f[k] - s[k]*p[i] + sp[k]$ ······ s[i] 可以直接消掉
$f[j] - f[k] + sp[j] - sp[k] < s[j]*p[i] - s[k]*p[i]$ ······ 移项
$(f[j] - f[k] + sp[j] - sp[k]) / (s[j] - s[k]) < p[i]$ ······ 合并同类项并移项得到式子

设 $g(j,k) = (f[j] - f[k] + sp[j] - sp[k]) / (s[j] - s[k]) < p[i]$
也就是 $g(j,k) < p[i]$ 时，对于 f[i] 的前一状态选择，j 比 k 好。

$p[i]$ 明显具有单调性，所以我们可以用单调栈来维护。

什么时候推队首即 q[head]？如果 q[head] 不如 q[head+1]，因为 p[i] 递增，所以选 q[head] 永远不如选 q[head+1]。
什么时候推队尾即 q[tail] ? 如果 $g(i,q[tail]) <= g(q[tail],q[tail-1])$ 那么

$g(i,q[tail]) < p[t]$ ，那么 $i$ 比 $q[tail]$ 好，同理，永远也不可能取 $q[tail]$ 。
$g(i,q[tail]) >= p[i]$ ，那么 $q[tail]$ 的确比 i 好，但是由于 $g(i,q[tail]) <= g(q[tail],q[tail-1])$
所以必有 $g(q[tail],q[tail-1]) >= p[i]$ 所以 $q[tail-1]$ 一定比 $q[tail]$ 好。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define DB double
#define F(x) (f[x]+sp[x])
using namespace std;
const int maxn=1e6+6;
int n,q[maxn],til,hea,c[maxn],x[maxn];
LL f[maxn],s[maxn],p[maxn],sp[maxn];
int read()
{
    int ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ret*f;
}
DB xie(int i,int j){return (F(i)-F(j))*1.0/(s[i]-s[j]);}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),s[i]=s[i-1]+(p[i]=read()),c[i]=read(),sp[i]=sp[i-1]+x[i]*p[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        while (hea<til&&xie(q[hea],q[hea+1])<x[i]) hea++;
        f[i]=F(q[hea])-sp[i]+(s[i]-s[q[hea]])*x[i]+c[i];
        while (hea<til&&xie(i,q[til])<xie(q[til],q[til-1])) til--;
        q[++til]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

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