深度强化学习之Policy Gradient & Actor-Critic Model & A3C

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policy gradient

在之前的DQN是进行value function的approximation，是value-vased RL。这次要讲的是policy-based RL。

对于RL的policy直接进行参数表示：比如可以输入state（一幅图片，一个feature vector），然后由带有参数的某种算法（比如linear regression，deep learning）计算得出对不同的action的一个probability distribution。对于符号的表示，Sutton的书里面用的是另外一种符号。

policy-based RL可以使用model-free进行训练，就是不需要对environment进行建模。policy-based RL可以更好收敛，可以在高维和连续action space进行训练。可以学习stochastic policy（概率，可求导）缺点是容易陷入local optimum。同时对于一个policy进行evaluating会有high variance，这里主要是因为采用MC计算了value，所以有较大的variance。之后会说到如何解决这个问题。

Stochastic Policy相比于Deterministic Policy有它的好处在于不确定性，随机性。Stochastic Policy的输出采用sampling或者是argmax。比如在猜拳的时候，如果策略的固定的，那么就容易被猜中你的下一步是什么。采用Stochastic Policy，uniform random policy，就可以得到更优的reward，比如纳什均衡。

value-based RL在同样的状态的时候，有时候获得最优解的概率更低。比如下图中gridworld，灰色部分是一模一样的state，如果是value-based RL就会对这两个state执行一样的action，那么就会有50%的概率无法拿到黄金（reward）。

如果是采用policy-based policy，那么就会随机向两边走，都有可能。那么获取更高reward的概率更高。

那么给定了一个policy，如何判断一个policy的好坏呢？衡量一个policy的好坏呢？

我们采用MC或者TD计算state value来获得policy objective function的表达。可以用start value，计算某个state的value（在episodic environments）。

在continuing environment中，使用average value：

或者采用average reward per time step：

这里的d是Markov chain，是在policy的作用下的stationary distribution，其实都是含有$\theta$的函数表达式。

所以policy-based RL就是要找到参数来最大化 J($\theta$)，有些方法用hill climbing，genetic algorithms，更有效的方法就是梯度下降（gradient descent，conjugate gradient，quasi-Newton）那么要最大化J($\theta$)，那么更新应该就是应该往梯度的方向更新（这里是最大化Objective，和深度学习的minimize loss要注意区分）

$\alpha$是learning rate，另外一部分是policy gradient。

在计算求导部分，有一个叫做automation differentiation的东西，计算的是J($\theta$)的导数，当里面的unit vector为0的时候，gradient不变，通过这样的方法debug代码。

所以，至此我已经把policy-based RL中的优化目标介绍了 J($\theta$)。接下来介绍policy function求导，再介绍两者之间的联系。

policy gradient可以写成如下形式：

求导部分被称为 score function：

针对离散action space，使用softmax policy。weight action可以用linear regression来计算，所以处于state s的action可以表示为：（这里的feature可以用NN的输出feature代替）

所以，score function就可以计算为：（对上面的式子进行求导，这里加入了一个expectation，我觉得这个有点儿类似后面说的baseline，如果当前的action执行后，action value高于baseline->state value，说明这个action是好的，应该给予正向更新，往这个好的方向前进。也就是最大化value的方向。如果是执行action以后，比baseline更低的话，那么在该状态下这个action是不好的，应该给予负向反馈。没有这个expecatation的话，那么梯度都是正的了，没有好坏之分了）

针对连续action space，那么就使用高斯了。既然计算高斯就是计算均值和方差。

计算均值：

score function：（由高斯函数求导可以得到）

这里输入的action是continuous的值。在这里可以看到并不像discrete加入了expectation，是因为在score function里面本来就存在了mean value。

所以，我现在把objective function J($\theta$)和policy gradient结合起来看。
如果从状态s出发，然后在一个time-step结束的话，那么reward为：

使用average reward作为objective：

那么在policy下，reward expectation可以计算为每个状态下，执行action获得reward的综合。处于状态有一个probability，所以用$P_{\theta}(s,a)$，同时根据条件概率，这个$P_{\theta}(s,a)$可以表示为P(s)*${\pi}_{\theta}^(a|s)$。那么移动sum operator可以得到：

然后这个expectation reward就是J($\theta$)，对其求导可以得到：

首先state的分布求和结果就是1，另外对于第二个求和的操作和$\theta$无关，那么就可以移动这个sum operator到reward前面，根据MDP的计算，这个就是r。所以最终的gradient就是：

但是，刚才只是用one-step reward之后就进行状态终止，也就是用immediate reward来拟合value，所以对于policy gradient可以表示为：

既然这里提及到了Q value，那么就可以使用return value代替，比较Q value的含义就是在某个state执行action之后的$G_t$。计算$G_t$就可以使用MC。所以针对$G_t$的gradient为：

伪代码为：在这里可以发现有一个discount factor，这是在计算$G_t$的时候才会出现的。不过这里加上这个主要是因为越往后的$G_t$越不靠谱，可信度越低。

所以计算完policy的gradient之后：

更新权重：对于这个公式，上面的部分计算梯度，使得函数往更好的return走，return越高，更新后的权重越倾向于这个action。同时除以分母就是做一个类似于normalizetion的操作。

至此，policy gradient介绍完了，以及如何进行权值更新，接下来介绍value function和policy function的结合。

不过还有一个坑要填，就是在policy-based model会有很高的variance，那是因为使用了MC进行episode采样，太高的variance，就很难进行训练，训练的结果也是divergence的。为此，这里提出了一个叫做baseline的东西。

首先定义一个baseline function B(s)，是关于state的函数。把B(s)替换Q，得到：

因为B（s）和action没有关系，所以B(s)其实用什么都是可以的，一般来说选取这个state的value，那么就可以更好知道执行了action的好坏了。

现在把B(s)加入到J($\theta$)中，用Q减去B，也就是Q-V。你会发现，这个结果就是advantage function：

因为刚才已经证明了对B(s)求导是0，所以对有advantage function进行求导和对有q value的是完全一样的。

actor-critic

在刚才介绍policy function会引入high variance，引入baseline可以减少variance。因为加入了baseline以后会把关注点集中在与action，而不是state原本的好坏。现在，在MC采样计算Q引入的variance，我们使用上一篇博客提出的DQN来近似计算，就可以减少variance。

那么我们就有了action-value approximation（actor, w）以及state-value approximation（critic，$\theta$）。

action-function的参数更新把approximation action value为：

那么把两个同时训练，可以得到如下伪代码。

A3C

使用advantage function可以大大降低variance，前提在于能够使用正确的Q value function，因为这个Q是由另外一个函数拟合的。所以在这里，使用的approximation action-value和state-value都是在policy指导下进行的。这样就保证了这两套参数（policy function和value function）同步。

在DQN中介绍过Dueling Networks，将Q network分成两个。现在才去一样的策略，不过这次最终是训练A，Q和V被分开。

对于advantage function的estimating还可以用TD error计算：

所以计算action function的gradient可以写成：

在实际中，使用value function来获取state value（value function拟合state value来计算TD error）

这样就把state value function加入了进来。

现在来说一下critic部分的权重更新，state value可以有多种计算。MC，TD，TD($\lambda$)。
使用MC更新v：

使用TD更新v：

更新actor部分：
使用MC的话：

使用one-step TD：

所以综合以上，得出Advantage Actor-Critic Algorithm：

然后A3C全称就是Asynchronous Advantage Actor-Critic Algorithm，是一种分布式的更新w，$\theta$的方法。把上述的repeat部分分到不同器件上计算，然后再一起更新权值。

现在对刚才说的actor-critic进行总结，可以知道：

在计算Q value的时候，由于是使用Q value function，那么就会产生bias，所以如何避免bias呢？如果能够满足以下条件就可以避免bias。

满足的话就可以证明policy gradient可以表示为：

具体证明如下，就是把上面的条件带入，在第二个式子是对error进行w求导得到。把条件一代入第三行，所以最终有了第四行的结论。

所以我们得到的是：

我们可以发现在action function的gradient ascent中，最好就是对policy进行reparametrized并同时不要改变action probability。

这里介绍一个叫做natural policy gradient的方法。就是在传统的梯度计算的基础上加入Fisher information。

$G_{\theta}$是Fisher information matrix。

在linear model下，natural policy gradient可以计算为：

所以就是：（因此在有的论文里面提出可以把value function和action function训练在一个网络里面，只是输出部分做不一样的输出。）

actor-critic是最近火起来了，比如2015年的ICML的《Show, Attend and Tell: Neural Image Caption Generation with Visual Attention》。当然，最经典还是2014年Deepmind的《Recurrent Models of Visual Attention》。对于Recurrent Models of Visual Attention这篇论文之后我会把它解析一遍。

整个框架如下：RNN+RL的组合~

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Useful Links：
1. Policy gradient 1: https://www.youtube.com/watch?v=jm7x6G94_aM&edit=vd
2. Policy gradient 2: https://www.youtube.com/watch?v=QG4tW4U-3cE&edit=vd
3. Policy Gradient 3： https://www.youtube.com/watch?v=jm7x6G94_aM&edit=vd
4. Policy Gradient 4： https://www.youtube.com/watch?v=QG4tW4U-3cE&edit=vd
5. A3C： https://www.youtube.com/watch?v=O79Ic8XBzvw
6. Asynchronous Methods for Deep Reinforcement Learning：https://arxiv.org/abs/1602.01783
7. 梯度下降总结： http://blog.csdn.net/shuzfan/article/details/75675568