LL(1)文法

预测分析法的工作过程

从文法开始符号触发，在每一步推导过程中根据当前句型的最左非终结符A和当前输入符号a，选择正确的A-产生式。为保证分析的确定性，选出的候选式必须是唯一的。

S_文法（简单的确定性文法）

特点：

• 每个产生式的右部都以终结符开始。
• 同一非终结符的各个候选式的首终结符都不同。
• S_文法不包含 $\epsilon$产生式

什么时候使用 $\epsilon$产生式？

如果当前某非终结符A与当前输入符a不匹配时，若存在 $A \rightarrow{\epsilon}$，可通过检查a是否可以出现在A的后面，来决定是否使用产生式 $A \rightarrow{\epsilon}$。（若文法中无 $A \rightarrow{\epsilon}$，则应报错）。

例：

文法：

1. $S\rightarrow{aBC}$
2. $B \rightarrow{bC}$
3. $B\rightarrow{dB}$
4. $B \rightarrow{\epsilon}$
5. $C\rightarrow{c}$
6. $C \rightarrow{a}$
7. $D \rightarrow{e}$

输入：

a d a

推导：

$aBC \Rightarrow{adBC \Rightarrow{adC \Rightarrow{ada}}}$

可以看到在第三步推导中，B转成了空串。而上述文字的意思就是，由于此时输入的字符是a，而B没有候选式能够匹配，因此检查a能否出现在B的后面。换句话说，看看B后面的C能不能匹配a。 如果可以匹配则可以使用B的 $\epsilon$产生式，没有则报错。

非终结符的后继符号集

可能在某个句型中紧跟在A后边的终结符a的集合，即为FOLLOW(A)， $FOLLOW(A) = \{a | \Rightarrow^*{\alpha A a \beta}, a \in V_T, a,\beta \in (V_T \cup V_N)^*\}$

注：如果A是某个句型的最右符号，则将结束符$添加到FOLLOW(A)中。

例：

1. $S\rightarrow{aBC}$
2. $B \rightarrow{bC}$
3. $B\rightarrow{dB}$
4. $B \rightarrow{\epsilon}$
5. $C\rightarrow{c}$
6. $C \rightarrow{a}$

那么 $FOLLOW(B)= \{a, c\}$。

换句话说，当输入为b或d时，选择产生式2或3。而当输入为a或c时，选择产生式4。

产生式的可选集

产生式 $A \rightarrow{\beta}$的可选集是指可以选用该产生式进行推导时对应的输入符号的集合，记为 $SELECT(A \rightarrow{\beta})$。也就是说，当遇到可选集中的字符输入时，可以选用可选集对应的产生式。

• $SELECT(A \rightarrow{a \beta}) = {a}$
• $SELECT(A \rightarrow{\epsilon})$ = $FOLLOW(A)$

q_文法

• 每个产生式的右部或为 $\epsilon$，或以终结符开始
• 具有相同左部的产生式有不相交的可选集。
• q_文法不含右部以非终结符打头的产生式。

串首终结符集

• 串首终结符：串的第一个符号，并且是终结符。简称首终结符。
• 给定一个文法符号串 $\alpha$， $\alpha$的串首终结符集 $FIRST(\alpha)$被定义为可以从 $\alpha$推导出的所有串首终结符构成的集合。如果 $\alpha \Rightarrow^*{\epsilon}$，那么 $\epsilon$也在 $FIRST(\alpha)$中
  • 对于 $\forall\alpha \in(V_T \cup V_N)^+$， $FIRST(\alpha)={a | \alpha \Rightarrow^*{a\beta},a \in V_T, \beta \in (V_T \cup V_N)}$
  • 如果 $\alpha \Rightarrow^*{\epsilon}$，那么 $\epsilon \in FIRST(\alpha)$。（ $\alpha$中的每一个符号都是非终结符，且每一个非终结符都能推导出空串）
• 产生式 $A \rightarrow{\alpha}$的可选集 $SELECT$
  • 如果 $\epsilon \notin FIRST(\alpha)$，那么 $SELECT(A \rightarrow{\alpha}) = FIRST(\alpha)$
  • 如果 $\epsilon \in FIRST(\alpha)$，那么 $SELECT(A \rightarrow{\alpha}) = (FIRST(\alpha) - \{\epsilon\}) \cup FOLLOW(A)$

LL(1)文法

文法G是 $LL(1)$的，当且仅当G的任意两个具有相同左部的产生式 $A \rightarrow{\alpha | \beta}$满足下面的条件：

• 不存在终结符a使得 $\alpha$和 $\beta$都能推导出以a开头的串。
• $\alpha$和 $\beta$至多有一个能推导出 $\epsilon$

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• 如果 $\beta \Rightarrow^*{\epsilon}$，则 $FIRST(\alpha) \cap FOLLOW(A) = \Phi$
• 如果 $\alpha \Rightarrow^*{\epsilon}$，则 $FIRST(\beta) \cap FOLLOW(A) = \Phi$

因为如果 $\beta \Rightarrow^*{\epsilon}$，那么 $SELECT(\beta)$就包含了 $FOLLOW(A)$，所以 $FIRST(\alpha)$就不能包含 $FOLLOW(A)$中元素。不然两个的 $SELECT$集将会相交。

• 同一非终结符的各个产生式的可选集互不相交