图解数据结构（8）——二叉堆

转载自http://www.cppblog.com/guogangj/archive/2009/10/29/99729.html

首先说说数据结构概念——堆（Heap），其实也没什么大不了，简单地说就是一种有序队列而已，普通的队列是先入先出，而二叉堆是：最小先出。

这不是很简单么？如果这个队列是用数组实现的话那用打擂台的方式从头到尾找一遍，把最小的拿出来不就行了？行啊，可是出队的操作是很频繁的，而每次都得打一遍擂台，那就低效了，打擂台的时间复杂度为Ο(n)，那如何不用从头到尾fetch一遍就出队呢？二叉堆能比较好地解决这个问题，不过之前先介绍一些概念。

完全树（Complete Tree）：从下图中看出，在第n层深度被填满之前，不会开始填第n+1层深度，还有一定是从左往右填满。

再来一棵完全三叉树：

这样有什么好处呢？好处就是能方便地把指针省略掉，用一个简单的数组来表示一棵树，如图：

那么下面介绍二叉堆：二叉堆是一种完全二叉树，其任意子树的左右节点（如果有的话）的键值一定比根节点大，上图其实就是一个二叉堆。

你一定发觉了，最小的一个元素就是数组第一个元素，那么二叉堆这种有序队列如何入队呢？看图：

假设要在这个二叉堆里入队一个单元，键值为2，那只需在数组末尾加入这个元素，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动，经过了这种复杂度为Ο(logn)的操作，二叉堆还是二叉堆。

那如何出队呢？也不难，看图：

出队一定是出数组的第一个元素，这么来第一个元素以前的位置就成了空位，我们需要把这个空位挪至叶子节点，然后把数组最后一个元素插入这个空位，把这个“空位”尽量往上挪。这种操作的复杂度也是Ο(logn)，比Ο(n)强多了吧？

常用堆的几个功能(一下都是以小顶堆为例(即结点的值都比左右孩子的小))

1)维护堆,向下更新

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1. void min_heapify(int i)    //以i为根,向下更新,使得数组成为小顶堆   
2. {  
3.     int l = i << 1;          //左孩子位子  
4.     int r = l + 1;           //右孩子位子  
5.     int min = i;  
6.     if(l <= length && heap[l] < heap[min])   //比较大小  
7.     {  
8.         min = l;  
9.     }  
10.     if(r <= length && heap[r] < heap[min])  
11.     {  
12.         min = r;  
13.     }  
14.     if(i != min)       //如果最小的值不是i节点,就交换  
15.     {  
16.         int tmp = heap[i];  
17.         heap[i] = heap[min];  
18.         heap[min] = tmp;  
19.         min_heapify(min);     //继续往下更新  
20.     }  
21. }  

2)维护堆，向上更新

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1. void sinkup(int i)    //以i为根,向上更新,使得数组成为小顶堆   
2. {  
3.     int parent = i >> 1;    //找父节点  
4.     if(heap[parent] > heap[i])    //交换  
5.     {  
6.         int tmp = heap[i];  
7.         heap[i] = heap[parent];  
8.         heap[parent] = tmp;  
9.         if(parent > 1)  
10.             sinkup(parent);//继续向上更新  
11.     }  
12. }  

3) 建堆

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1. void min_build()   //建堆   
2. {  
3.     for(int i = length / 2;i >= 1;i--)    //length为数组长度     
4.     {  
5.         min_heapify(i);          //从length / 2开始向上更新,不信绘图看看  
6.     }  
7. }  

4) 取最小值,即队头元素a[1]

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1. int popheap()  
2. {     
3.     int min ;  
4.     min=heap[1];       //取队头元素  
5.     heap[1] = heap[length];     //把尾元素放到头  
6.     length--;            
7.     min_heapify(1);        //向下更新,维护堆  
8.     return min;  
9. }  

5)进堆

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1. void pushheap(int x)  
2. {  
3.     length++;          
4.         heap[length] = x; // 插到数组最后一个   
5.         sinkup(length);     //向上更新,维护堆  
6. }