【暖*墟】#网络流# 最大权闭合子图

【相关概念详解】

闭合图：有向图的一个点集，且这个点集的所有出边仍然指向该点集。

最大权闭合图：（每一个点有一个权值）在所有的合法闭合图中，点权之和最大的图。

 

处理问题：权值有正有负，重复选只算一次，选择有相互关联性 的问题。

 

首先有一个有向连通图（闭合图），每个点带有一个权值，例如：

 

 

造出一个超级源点S和一个超级汇点T，把S连边到所有带有正权的点上，每条边的容量是这个点的权；

把所有带负权的点连边到T，每条边的容量是这个点的权的相反数（正值）。原来的边的容量设成无限大。

所有的点按权值的正负连接到s和t上，转换成一个边权值有向图。

 

最大权闭合图的最大权 = 所有正权值之和 — 最小割容量（最大流的值） 。

步骤归纳：1. 建立超级源点s，超级汇点t。

                  2. 所有点权为正数的点i，建边 s->i，容量为(正)点权。

                  3. 所有点权为负数的点i，建边i->t，容量为(负)点权绝对值。

                  4. 原图建图后，（互相关联影响的）边容量设为正无穷。

                  5.最大权闭合图的权值 = 正权点之和 - (s->t)最大流。

建图方法的推导

源点s可以理解为最大可获得的权值（即正权点之和）。

汇点t可以理解为最大的会损失的权值（负权点之和）。

我们现在要尽量的获得s，而避免t。

想选出最大权闭合图，则如果选定一个点，这个点的所有后继子孙点都必须选择。

因此，想拿正数，就不可避免的要取负数子孙后继点。

所以：要尽量选择正权点为起点，才有可能增大闭合图点集的权值和。

因此，我们从源点s向正权点连边（即只以正权点为起点）。

至于过程中遇到的负权点，我们让其流向t，即建立边 负权点->t的意图。

好，现在我们尽量去取正数点（直接从源点s起始），过程中遇到的负权点流向t。

现在就变成了：s->t的流量就是我们的损失。

即：我们希望流向t的流量flow尽量少，而从s流出的流量sum尽量多，

从s流出而没有流入t的流量（sum-flow）就是闭合图的最大权。

可能有种情况很懵逼：

若要选点，选2吧，权为-5；选1和2吧，权为-1；不如选空集，权为0。明显最后的选择是对的。

但按照上面的思路，从s流出4，所以损失最多为4，sum-flow=0。

所以对该图就产生这么一种结论：

选择1号点，和不选1号点，结果是相同的，我选的时候他会被损失完，效果等同于不选。

那不妨我一开始就把所有的正权点都给选了（满足从s流出的最多），让他们往后代流，

大不了被负权子孙点损失完，而那些没有被损失完的，就是我们统计下来的结果。

那个损失，就是s->t的最大流。于是得证：闭合图最大权 = 正权和sum - 最大流flow。

【例题1】【p4174】最大获利

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

/*【p4174】最大获利
n个中转站，第i个的建立成本为pi。M个用户：ai与bi通讯，获利ci。
---> 求净获利最大。（净获利=获益之和–投入成本之和）*/

//【标签】网络流 + 最大权闭合子图

/*【分析】注意，‘用户’和‘中转站’是两种东西，不能混淆。*/

void reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
    int fx=1;x=0;char ch_=getchar();
    while(ch_<'0'||ch_>'9'){if(ch_=='-')fx=-1;ch_=getchar();}
    while(ch_>='0'&&ch_<='9'){x=x*10+ch_-'0';ch_=getchar();}
    x*=fx; //正负号
}

const int N=1000019,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,s,t,tot=-1,head[N],dep[N],sum=0;

struct node{ int nextt,ver,w; }e[N];

void add(int x,int y,int z) //正向边权值为1，反向边权值为0
 { e[++tot].ver=y,e[tot].nextt=head[x],e[tot].w=z,head[x]=tot;
   e[++tot].ver=x,e[tot].nextt=head[y],e[tot].w=0,head[y]=tot; }

int bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep)); //dep记录深度 
    queue<int> q; while(!q.empty()) q.pop();
    dep[s]=1; q.push(s); 
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
            if((e[i].w>0)&&(dep[e[i].ver]==0)) //分层 
                dep[e[i].ver]=dep[u]+1,q.push(e[i].ver);
    } if(dep[t]!=0) return 1;
      else return 0; //此时不存在分层图也不存在增广路
}

int dfs(int u,int lastt){ int ans=0; 
    if(u==t) return lastt; //lastt：此点还剩余的流量
    for(int i=head[u];i!=-1&&ans<lastt;i=e[i].nextt) 
        if((dep[e[i].ver]==dep[u]+1)&&(e[i].w!=0)){
            int f=dfs(e[i].ver,min(lastt-ans,e[i].w)); 
            if(f>0){ e[i].w-=f,e[i^1].w+=f,ans+=f; }
    } if(ans<lastt) dep[u]=-1; return ans;
}

int dinic(){ int ans=0; while(bfs()) ans+=dfs(s,1<<30); return ans; }

int main(){
    reads(n),reads(m); s=0,t=n+m+1; memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1,pi;i<=n;i++) reads(pi),add(i+m,t,pi); //编号点---T（相当于负权点）
    for(int i=1,ai,bi,ci;i<=m;i++){ reads(ai),reads(bi),reads(ci);
        sum+=ci; add(s,i,ci),add(i,ai+m,inf),add(i,bi+m,inf);
    } printf("%d\n",sum-dinic()); return 0; //↑↑把每个用户与两个中转站相连
}

【p4174】最大获利 // 网络流 + 最大权闭合子图【模板题】

【例题2】【p3749】寿司餐厅

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

/*【p3749】寿司餐厅 */

//【标签】网络流 + 最大权闭合子图 + 读题/细节处理

/* 1. n<=2，种数只有 {不选}{1}{2}{1,2}{1;2} 10pts。
2. 60%数据m=0，即支出=∑每个代号吃了的种类数*代号。 */

/*【分析】感觉有点像网络流但我不会写0.0 最大权闭合子图。
日常%GXZ https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6795784.html
对于每个点(i,j)(j>i)，如果它被选择，那么点(i,j-1)和点(i+1,j)也一定被选择。
由此建点权图。对于点(i,j)(j>i)，点权为d[i][j]，并向点(i,j-1)和点(i+1,j)连边。
对于点(i,i)，点权为d[i][i]-a[i]（收益减去费用），并向编号a[i]连边。
对于编号p，点权为-m*p*p。所求为最大权闭合图，所以转化为网络流最小割来求。
最后的答案 ： 闭合图最大权 = 正权和sum - 最大流flow。*/

void reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
    int fx=1;x=0;char ch_=getchar();
    while(ch_<'0'||ch_>'9'){if(ch_=='-')fx=-1;ch_=getchar();}
    while(ch_>='0'&&ch_<='9'){x=x*10+ch_-'0';ch_=getchar();}
    x*=fx; //正负号
}

const int N=50019,inf=0x3f3f3f3f;

int a[N],d[110][110],id[110][110],cnt_;

int s,t,tot=-1,n1,n2,n3,head[N],dep[N]; //s为源点，t为汇点 

struct node{ int nextt,ver,w; }e[N];

void add(int x,int y,int z) //正向边权值为1，反向边权值为0
 { e[++tot].ver=y,e[tot].nextt=head[x],e[tot].w=z,head[x]=tot;
   e[++tot].ver=x,e[tot].nextt=head[y],e[tot].w=0,head[y]=tot; }

int bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep)); //dep记录深度 
    queue<int> q; while(!q.empty()) q.pop();
    dep[s]=1; q.push(s); 
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
            if((e[i].w>0)&&(dep[e[i].ver]==0)) //分层 
                dep[e[i].ver]=dep[u]+1,q.push(e[i].ver);
    } if(dep[t]!=0) return 1;
      else return 0; //此时不存在分层图也不存在增广路
}

int dfs(int u,int lastt){ int ans=0; 
    if(u==t) return lastt; //lastt：此点还剩余的流量
    for(int i=head[u];i!=-1&&ans<lastt;i=e[i].nextt) 
        if((dep[e[i].ver]==dep[u]+1)&&(e[i].w!=0)){
            int f=dfs(e[i].ver,min(lastt-ans,e[i].w)); 
            if(f>0){ e[i].w-=f,e[i^1].w+=f,ans+=f; }
    } if(ans<lastt) dep[u]=-1; return ans;
}

int main(){
    
    int n,m,k=0,sum=0; reads(n),reads(m);
    
    memset(head,-1,sizeof(head)); //死也会忘记的...

    for(int i=1;i<=n;i++) reads(a[i]),k=max(k,a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) 
        reads(d[i][j]),id[i][j]=++cnt_;
    
    s=0,t=cnt_+k+1; //cnt_个d(i,j)，k种编号
    
    for(int i=1;i<=k;i++) add(cnt_+i,t,m*i*i); 
    //↑↑k种编号向汇点连边（便于处理最后的m*x^2) 利用线性的‘互相影响’关系
    
    for(int i=1;i<=n;i++) add(id[i][i],cnt_+a[i],inf),
        d[i][i]-=a[i]; //点权-a[i](费用)，向编号点a[i]连边
    
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++){ //最大全闭合子图的建边
        if(d[i][j]>0) add(s,id[i][j],d[i][j]),sum+=d[i][j]; //正权
        if(d[i][j]<0) add(id[i][j],t,-d[i][j]); //负权，向T建立全值为绝对值的边
        if(j>i) add(id[i][j],id[i][j-1],inf),add(id[i][j],id[i+1][j],inf);
    } //↑↑处理相关联有影响的性质：(i,j) -> (i,j-1)、(i+1,j)
    
    while(bfs()) sum-=dfs(s,inf); printf("%d\n",sum);

}

【p3749】寿司餐厅 // 网络流 + 最大权闭合子图 + 读题/细节处理

【例题3】【p2762】太空飞行问题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

//【p2762】太空飞行问题 // 网络流 + 最大权闭合子图 + 读入方式

/*【分析】S - m个实验 - n个仪器 - T */

const int N=1000019,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,s,t,tot=-1,head[N],dep[N],sum=0,flag=0;

int reads(int &x){ //读入优化（正负整数）
    int fx=1;x=0;char ch_=getchar();
    while(ch_<'0'||ch_>'9'){if(ch_=='-')fx=-1;ch_=getchar();}
    while(ch_>='0'&&ch_<='9'){x=x*10+ch_-'0';ch_=getchar();}
    x*=fx; return ch_=='\r'||ch_=='\n'?0:1; //十分厉害的读入...
}

struct node{ int nextt,ver,w; }e[N];

void add(int x,int y,int z) //正向边权值为1，反向边权值为0
 { e[++tot].ver=y,e[tot].nextt=head[x],e[tot].w=z,head[x]=tot;
   e[++tot].ver=x,e[tot].nextt=head[y],e[tot].w=0,head[y]=tot; }

int bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep)); //dep记录深度 
    queue<int> q; while(!q.empty()) q.pop();
    dep[s]=1; q.push(s); 
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
            if((e[i].w>0)&&(dep[e[i].ver]==0)) //分层 
                dep[e[i].ver]=dep[u]+1,q.push(e[i].ver);
    } if(dep[t]!=0) return 1;
      else return 0; //此时不存在分层图也不存在增广路
}

int dfs(int u,int lastt){ int ans=0; 
    if(u==t) return lastt; //lastt：此点还剩余的流量
    for(int i=head[u];i!=-1&&ans<lastt;i=e[i].nextt) 
        if((dep[e[i].ver]==dep[u]+1)&&(e[i].w!=0)){
            int f=dfs(e[i].ver,min(lastt-ans,e[i].w)); 
            if(f>0){ e[i].w-=f,e[i^1].w+=f,ans+=f; }
    } if(ans<lastt) dep[u]=-1; return ans;
}

int dinic(){ int ans=0; while(bfs()) ans+=dfs(s,1<<30); return ans; }

int main(){

    reads(m),reads(n); s=0,t=n+m+1; memset(head,-1,sizeof(head));
    
    for(int i=1,pi,ai;i<=m;i++){ flag=reads(pi),sum+=pi,add(s,i,pi);
        while(flag) flag=reads(ai),add(i,ai+m,inf); }

    for(int i=1,ci;i<=n;i++) reads(ci),add(i+m,t,ci); //费用点---T

    int ans=sum-dinic(); //最大权闭合子图的最大权
    for(int i=1;i<=m;i++) if(dep[i]>0) cout<<i<<" "; printf("\n");
    for(int i=1;i<=n;i++) if(dep[i+m]>0) cout<<i<<" "; printf("\n");
    printf("%d\n",ans); //最大权闭合子图的最大权
}

【p2762】太空飞行问题 // 网络流 + 最大权闭合子图 + 读入方式 + 输出方案

【例题4】【poj2987】Fireing

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

//【poj2987】Firing // 网络流 + 最大权闭合子图

/* 炒掉一个人能够获得b收益（b可以<0），但必须炒掉他的下属。求最大收益和此时最小裁员。 */

//【分析】把u是v的上司变成u—>v，运行最大权闭合子图

const ll N=1000019,inf=0x3f3f3f3f;

ll n,m,s,t,tot=-1,head[N],dep[N]; ll sum=0;

void reads(ll &x){ //读入优化（正负整数）
    ll fx=1;x=0;char ch_=getchar();
    while(ch_<'0'||ch_>'9'){if(ch_=='-')fx=-1;ch_=getchar();}
    while(ch_>='0'&&ch_<='9'){x=x*10+ch_-'0';ch_=getchar();}
    x*=fx; //正负号
}

struct node{ ll nextt,ver,w; }e[N];

void add(ll x,ll y,ll z) //正向边权值为1，反向边权值为0
 { e[++tot].ver=y,e[tot].nextt=head[x],e[tot].w=z,head[x]=tot;
   e[++tot].ver=x,e[tot].nextt=head[y],e[tot].w=0,head[y]=tot; }

ll bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep)); //dep记录深度 
    queue<ll> q; while(!q.empty()) q.pop();
    dep[s]=1; q.push(s); 
    while(!q.empty()){
        ll u=q.front(); q.pop();
        for(ll i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
            if((e[i].w>0)&&(dep[e[i].ver]==0)) //分层 
                dep[e[i].ver]=dep[u]+1,q.push(e[i].ver);
    } if(dep[t]!=0) return 1;
      else return 0; //此时不存在分层图也不存在增广路
}

ll dfs(ll u,ll lastt){ ll ans=0; 
    if(u==t) return lastt; //lastt：此点还剩余的流量
    for(ll i=head[u];i!=-1&&ans<lastt;i=e[i].nextt) 
        if((dep[e[i].ver]==dep[u]+1)&&(e[i].w!=0)){
            ll f=dfs(e[i].ver,min(lastt-ans,e[i].w)); 
            if(f>0){ e[i].w-=f,e[i^1].w+=f,ans+=f; }
    } if(ans<lastt) dep[u]=-1; return ans;
}

ll dinic(){ ll ans=0; while(bfs()) ans+=dfs(s,1<<30); return ans; }

bool vis[N];

ll get_(ll u){ ll ans=1; vis[u]=1; //要删去的所有人：e[i].w>0
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
     { ll v=e[i].ver; if(e[i].w>0&&!vis[v]) ans+=get_(v); } return ans; }

int main(){

    reads(n),reads(m); s=0,t=n+1; memset(head,-1,sizeof(head));
    
    for(ll i=1,bi;i<=n;i++){ reads(bi);
        if(bi>0) sum+=bi,add(s,i,bi); else add(i,t,-bi); }

    for(ll i=1,a,b;i<=m;i++) reads(a),reads(b),add(a,b,inf); //限制关系

    ll ans=sum-dinic(); //最大权闭合子图的最大权
    printf("%lld %lld\n",get_(s)-1,ans); //最大权闭合子图的最大权
}

【poj2987】Firing // 网络流 + 最大权闭合子图 + 不开ll见祖宗

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

//【poj2987】Firing // 网络流 + 最大权闭合子图

/* 炒掉一个人能够获得b收益（b可以<0），但必须炒掉他的下属。求最大收益和此时最小裁员。 */

//【分析】把u是v的上司变成u—>v，运行最大权闭合子图

const ll N=1000019,inf=0x3f3f3f3f;

ll n,m,s,t,tot=-1,head[N],dep[N]; ll sum=0;

void reads(ll &x){ //读入优化（正负整数）
    ll fx=1;x=0;char ch_=getchar();
    while(ch_<'0'||ch_>'9'){if(ch_=='-')fx=-1;ch_=getchar();}
    while(ch_>='0'&&ch_<='9'){x=x*10+ch_-'0';ch_=getchar();}
    x*=fx; //正负号
}

struct node{ ll nextt,ver,w; }e[N];

void add(ll x,ll y,ll z) //正向边权值为1，反向边权值为0
 { e[++tot].ver=y,e[tot].nextt=head[x],e[tot].w=z,head[x]=tot;
   e[++tot].ver=x,e[tot].nextt=head[y],e[tot].w=0,head[y]=tot; }

ll bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep)); //dep记录深度 
    queue<ll> q; while(!q.empty()) q.pop();
    dep[s]=1; q.push(s); 
    while(!q.empty()){
        ll u=q.front(); q.pop();
        for(ll i=head[u];i!=-1;i=e[i].nextt)
            if((e[i].w>0)&&(dep[e[i].ver]==0)) //分层 
                dep[e[i].ver]=dep[u]+1,q.push(e[i].ver);
    } if(dep[t]!=0) return 1;
      else return 0; //此时不存在分层图也不存在增广路
}

ll dfs(ll u,ll lastt){ ll ans=0; 
    if(u==t) return lastt; //lastt：此点还剩余的流量
    for(ll i=head[u];i!=-1&&ans<lastt;i=e[i].nextt) 
        if((dep[e[i].ver]==dep[u]+1)&&(e[i].w!=0)){
            ll f=dfs(e[i].ver,min(lastt-ans,e[i].w)); 
            if(f>0){ e[i].w-=f,e[i^1].w+=f,ans+=f; }
    } if(ans<lastt) dep[u]=-1; return ans;
}

ll dinic(){ ll ans=0; while(bfs()) ans+=dfs(s,1<<30); return ans; }

int main(){

    reads(n),reads(m); s=0,t=n+1; memset(head,-1,sizeof(head));
    
    for(ll i=1,bi;i<=n;i++){ reads(bi);
        if(bi>0) sum+=bi,add(s,i,bi); else add(i,t,-bi); }

    for(ll i=1,a,b;i<=m;i++) reads(a),reads(b),add(a,b,inf); //限制关系

    ll ans=sum-dinic(),ans_=0; //最大权闭合子图的最大权
    for(ll i=1;i<=n;i++) if(dep[i]>0) ans_++;
    printf("%lld %lld\n",ans_,ans); //最大权闭合子图的最大权
}

【poj2987】Firing // 网络流 + 最大权闭合子图 + 第二种找路径的方法 time--

相关资料补充：https://www.cnblogs.com/dilthey/p/7565206.html

                                                       ——时间划过风的轨迹，那个少年，还在等你。